第22章 二次函数—— 二次函数的六种解题技巧 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册提分法

第9招 二次函数的六种解题技巧 九年级数学（上）极速提分法 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时两点均停止运动)，在运动过程中， 四边形PABQ的面积最小值为(　　) A．19 cm2 B．16 cm2 C．15 cm2 D．12 cm2 例 解题方法：用二次函数的性质解几何图形面积的最值问题的方法：通常先根据图形的特点，结合相关联的几何性质，运用“面积法”和“勾股法”建立有关等式，进而转化为函数关系式，再运用求函数最值的方法求解． 答案：C 技巧1 巧用二次函数的定义求字母的值 1.已知函数y＝(n2－1)x2＋(n2－2n－3)x－n－1. (1)当n为何值时，y是x的一次函数？  (2)当n为何值时，y是x的二次函数？ 解：由题意，得n2－1≠0，即n≠±1， ∴当n≠±1时，y是x的二次函数． 2.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标． 技巧2 巧配方求抛物线的对称轴与顶点坐标 (2)y＝－4(x＋1)(x＋3)． 解：y＝－4(x＋1)(x＋3) ＝－4(x2＋4x＋3) ＝－4(x2＋4x＋4－1) ＝－4(x＋2)2＋4， 所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－2， 顶点坐标为(－2，4)． 【点拨】 本题用配方法可直接得到抛物线的对称轴和顶点坐标． 3.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y(m)与它距离喷头的水平距离x(m)之间满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋1，则喷出水珠的最大高度是________m. 3 技巧 3 巧用顶点式求二次函数的最值 【点拨】 用配方法将y＝－2x2＋4x＋1转化成顶点式，即可得出喷出水珠的最大高度． 技巧4 巧用待定系数法求二次函数的解析式 4.已知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，最高点到x轴的距离为6，且经过点(2，－8)，求此二次函数的解析式． 解：设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k. 由题意知二次函数的图象的顶点坐标为(1，6)或(1，－6)． 当顶点为(1，6)，即h＝1，k＝6时，将点(2，－8)的坐标代入y＝a(x－1)2＋6，得 －8＝a(2－1)2＋6，解得a＝－14， ∴y＝－14(x－1)2＋6. 当顶点为(1，－6)，即h＝1，k＝－6时，将点(2，－8)的坐标代入y＝a(x－1)2－6，得－8＝a(2－1)2－6， 解得a＝－2，∴y＝－2(x－1)2－6， ∴此二次函数的解析式为y＝－14(x－1)2＋6或 y＝－2(x－1)2－6. 【点方法】 本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意得出抛物线的顶点坐标，设出其顶点式是解答此题的关键，解答时注意分类讨论思想的运用． 5. 【新考法】定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y＝(x－m)2－m 技巧5 巧用顶点坐标处理抛物线移动问题 D 【点拨】 二次函数y＝(x－m)2－m的图象的顶点(m，－m)在直线y＝－x上，画出图象，发现当函数图象从左上向右下运动时，若和正方形OABC有交点，应先经过点A，再依次经过点O、点B、点C，最后再经过点B，且在运动过程中，两次经过点A、点O、点B和点C，只需算出当函数图象经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值． 6. 【2023·孝感】为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360 m2的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2. 技巧6 巧用二次函数解决最值问题 (1)当x≤100时，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围． (2)当甲种花卉种植面积不少于30 m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少？最少是多少元？ 解：∵甲种花卉种植面积不少于30 m2，∴x≥30. ∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， ∴360－x≥3x，得x≤90. ∴30≤x≤90. ①当30≤x≤40时，由(1)知y＝30. ∵乙种花卉种植费用为15元/m2， ∴w＝yx＋15(360－x)＝30x＋15(360－x)＝15x＋5 400. ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6 000元，请直接写出甲种