第21章 一元二次方程——根与系数的关系的十一种应用 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册提分法

第6招 根与系数的关系的十一种应用 九年级数学（上）极速提分法 已知关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0， (1)若方程有实数根，求a的取值范围． (2)是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足 x1＋x2＋x1x2＝3？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 例 解题方法：1.对于二次项系数含有字母的方程，当方程未指明是一元二次方程或有两个根时，必须将方程按二次项系数为0和不为0两种情况进行分类讨论；2.解答与一元二次方程有关的存在性问题，一般先假设存在，根据根与系数的关系列出关于字母系数的方程，求出字母系数的值，再看它是否满足根的判别式大于或等于零，最后确定字母值的存在性． 解：(1)当a＝5时，方程为－4x－1＝0，方程有实数根； 当a≠5时，方程为一元二次方程， Δ＝16＋4(a－5)＝4a－4≥0，解得a≥1. ∴a的取值范围为a≥1. 应用1 已知方程一根，求另一根及待定系数 1.已知关于x的方程x2＋kx－6＝0的一根为2，求方程的另一根及k的值． 【点拨】 利用根与系数的关系联立方程组求解即可． 2. 【2023·武汉】已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是(　　) A．－25　　　　　　B．－24 C．35 D．36 D 应用2 已知方程，求有关两根的代数式的值 【点拨】 ∵a，b是方程x2－3x－5＝0的两根， ∴a2－3a－5＝0，b2－3b－5＝0，a＋b＝3， ∴a2－3a＝5，b2＝3b＋5， ∴2a3－6a2＋b2＋7b＋1 ＝2a(a2－3a)＋3b＋5＋7b＋1 ＝10a＋10b＋6＝10(a＋b)＋6 ＝10×3＋6＝36. 3. 应用3 已知两方程，求含两未知数的代数式的值 【点拨】 应用4 已知方程，求字母系数的取值范围 4.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0的两根的平方和小于5，求k的取值范围． 【点方法】 本题容易忽略Δ≥0这个条件，做题时要注意方程有根的条件． 5.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且两个根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 应用5 已知方程，求字母系数的值 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝[2(m－2)]2－4×1×(m2＋4)≥0. 解这个不等式，得m≤0. 设方程两根为x1，x2， 则x1＋x2＝－2(m－2)，x1x2＝m2＋4. ∵x12＋x22－x1x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝21. ∴[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21. 整理得m2－16m－17＝0. 解得m1＝－1，m2＝17. 又∵m≤0，∴m＝－1. 【点拨】 利用根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入(x1＋x2)2－3x1x2＝21得到关于m的一元二次方程，再解方程即可．本题易忽略Δ≥0这一条件． 6.不解方程，判断方程2x2＋3x－7＝0两个根的符号． 应用6 已知方程，判断根的符号 【点拨】 7.已知－1和3是某个关于x的一元二次方程的两个根，且方程中二次项系数为1，请写出这个方程． 解：设这个方程为x2＋ax＋b＝0. 由已知得－1＋3＝－a，－1×3＝b， ∴a＝－2，b＝－3. ∴这个方程为x2－2x－3＝0. 应用7 已知两根，求一元二次方程 8.已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9. 求证：x＝y. 应用8 结合根的判别式证明等式 证明：由题意知x＋y＝6，xy＝z2＋9， ∴x，y是关于t的一元二次方程t2－6t＋z2＋9＝0①的两个实数根， ∴Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0， 于是z＝0，从而Δ＝0. 故方程①有两个相等的实数根，∴x＝y. 9. 应用9 结合根的判别式证明不等式 证明：由题知bc＝a2－a＋1， b＋c＝2a2－2bc＋2＝2a. 于是b，c是关于t的一元二次方程 t2－2at＋a2－a＋1＝0的两个实数根． ∴Δ＝4a2－4(a2－a＋1)≥0，解得a≥1. 【点方法】 本题关键是构造以b，c为两个实数根的一元二次方程，利用判别式Δ≥0即可证得a≥1 . 10.已知关于x的二次函数y＝x2－(2k－1)x＋k2＋1的图象与x轴有两个交点． (1)求k的取值范围； 应用10 结合抛物线求字母的值 【点方法】 本题利用数形结合思想将抛物线与一元二次方程结合，利用根的判别式和根与系数的关系进行求解． 11.已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； 解：∵关于x的一元二次方程x2－