第21章 一元二次方程——常见易错易混问题归类 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第4招 一元二次方程中常见易错易混问题归类 九年级数学（上）极速提分法 已知6是关于x的方程x2－(m＋2)·x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长为多少？ 例 解题方法：本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程及三角形三边的关系，掌握数形结合思想是解题关键． 解：把x＝6代入方程得36－6(m＋2)＋2m＝0， 解得m＝6， 则原方程为x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6. 由这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边的长，可知： ①当△ABC的腰长为6，底边长为2时，△ABC的周长为6＋6＋2＝14； ②当△ABC的腰长为2，底边长为6时， 因为2＋2＜6，不合题意，所以舍去． 综上所述，△ABC的周长为14. 易错1 忽视二次项系数不为零的条件而致错 1.若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集． 错解：由题意知|k|－1＝2，解得k＝±3. ∴不等式为3x－6＋6≤0或－3x＋6＋6≤0， ∴x≤0或x≥4. 【点易错】 当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的最高次数是2，还要使二次项的系数不为0. 本题易忽视二次项的系数k－3≠0这一条件，而导致错解． 2.将2y2－6y＋1进行配方． 易错2 将多项式进行配方时与方程配方相混淆而致错 【点易错】 配方时，加上一次项系数一半的平方后，为了保持代数式的值不变，必须再减去一次项系数一半的平方，不能“只加不减”． 3. 【2023· 清华附中模拟】已知关于x的方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 易错3 应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件 【诊断】 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，隐含条件a≠0很容易被忽视，所以二次项系数含字母时，一定要考虑二次项系数不能为0. 易错4 在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 4.解方程：3(2x＋5)＝2x(2x＋5)． 【点易错】 5.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根． (1) 求m的取值范围； 解：根据题意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0， 解得m≤4. 易错5 利用根与系数的关系时未考虑“Δ” (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围． 解：根据题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1， 而2x1x2＋x1＋x2≥20， ∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3. 又∵m≤4，∴m的取值范围为3≤m≤4. 6.已知关于x的一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0. (1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； 证明：对于一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0， Δ＝(3k＋1)2－4(2k2＋2k)＝9k2＋6k＋1－8k2－8k＝ k2－2k＋1＝(k－1)2≥0. ∴无论k取何实数值，方程总有实数根． 易错6 忽视几何图形对方程根的要求 (2)若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的另两边长． 解：∵△ABC为等腰三角形， ∴有a＝b＝6，a＝c＝6或b＝c三种情况． ①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，∴62－6(3k＋1)＋2k2＋2k＝0，解得k＝3或k＝5. 当k＝3时，方程为x2－10x＋24＝0，解得x＝4或x＝6， ∴三角形的另两边长为4，6. 当k＝5时，方程为x2－16x＋60＝0， 解得x＝6或x＝10，∴三角形的另两边长为6，10. ②当b＝c时，方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即(k－1)2＝0，解得k1＝k2＝1， ∴方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2， 此时三角形三边长为6，2，2，不满足三角形三边关系，舍去． 综上可知，三角形的另两边长为4，6或6，10. 7.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价4元，商场平均每天可多售出8件． 易错7 忽略实际问题对方程根的要求 (1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1 200元，每件衬衫应降价多少元？ 解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200. 整理得x2－30x＋200＝0，解得x1＝20，x2＝10. 因为要尽快减少库存，所以x应取20. 答：每件衬衫应降价20元． (2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？ 解：由(1)知(40－x)(20＋2x