5.1导数的概念及其意义课件2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 1 一、课题导入 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关 1 求物体在任意时刻的速度与加速度 2 求曲线的切线 3 求函数的最大值与最小值 4 求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. 导数的本质是什么？ 二、引导探究1 平均速度与瞬时速度 在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位:m）与起跳后的 时间t(单位:s)存在函数关系： h(t)= - 4.9 t2+4.8 t+11（如图） 高台跳水 t:1 2时, h(2) – h(1) 2 – 1 = - 9.9(m/s) v= t:1 1.5时, h(1.5) – h(1) 1.5 – 1 = - 7.45(m/s) v= 1~2 -9.9m/s 1~1.5 -7.45m/s 1~1.1 -5.45m/s 1~1.01 -5.045m/s 1~1.001 -5.0045m/s 越来越接近-5m/s 时间间隔不断缩小 时间间隔 1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001 ... 0 平均速度 -4.9 -5 -9.9 -7.45 -5.45 -5.045 -5.0045 -5.00045 ... -5 趋近于 趋近于 平均速度 瞬时速度 极限 1.设物体运动路程与时间的关系是 ，在 到 这段时间内，物体运动的平均速度 . 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.瞬时速度可表示为 . 平均速度与瞬时速度 二、引导探究2 抛物线的切线的斜率 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ 追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 不一定 不一定 因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了. 我们发现，当点P__________________，割线P0P____________________位置. 这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时 1.割线的斜率 2.切线的斜率 点P0(x0, f(x0))与P两点间的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 割线斜率与切线斜率 二、引导探究3 导数的概念 1. 平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率. 2. 瞬时变化率 函数 f (x) 在 处的 瞬时变化率是函数 f (x) 从 到 的平均变化率在 时的极限，即 3. 导数的概念 如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值， 即 有极限，则称_________________________， 并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________ ) ,记作_ ___或____ __. 用极限符号表示这个定义， 就是_ _________________________________ y ＝ f (x) 在x ＝ x0处可导 瞬时变化率 y＝f (x)在x＝x0处的导数 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 注意： 1. f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f′(x0)与∆x的具体取值无关； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称. 思考：根据导数的定义，你能归纳出求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤吗？ 一差、二比、三极限 二、引导探究4 导数的几何意义