专题7.3 离散型随机变量的数字特征【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.3 离散型随机变量的数字特征【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求离散型随机变量的均值】 2 【题型2 均值的性质】 3 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 3 【题型4 求离散型随机变量的方差、标准差】 4 【题型5 方差的性质】 6 【题型6 求两点分布的均值与方差】 7 【题型7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 7 【知识点1 离散型随机变量的均值】 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 【题型1 求离散型随机变量的均值】 【例1】（2023下·广西河池·高二校联考期中）为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023下·高二课时练习）节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是（    ） ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 【变式1-2】（2023·河北·统考模拟预测）2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（    ） A．300元 B．元 C．350元 D．元 【变式1-3】（2023下·河南洛阳·高三校考开学考试）某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点个数，错误的是（    ） A．该游客至多游览一个景点的概率为 B． C． D． 【题型2 均值的性质】 【例2】（2023·高二课时练习）已知随机变量的分布列是 则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023下·福建三明·高二校考阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表所示 x 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 b 0.2 0.1 则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）若，是离散型随机变量，且，其中，为常数，则有.利用这个公式计算（ ） A． B． C． D．不确定 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 【例3】（2023下·广东深圳·高二校考期中）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为： X 0 1 P a b 则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023下·河北邯郸·高二校考期中）甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛