6.3.1 平面向量基本定理3题型分类-2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义（人教A版2019必修第二册）

解题秘籍：2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义 6.3.1 平面向量基本定理3题型分类 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、基底的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到． （一） 平面向量的基底 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 题型1：平面向量基底的判断 1-1．（2023下·上海浦东新·高一校考期末）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 1-2．（2023下·江苏苏州·高一江苏省震泽中学期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 1-3．（2023·高一课时练习）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 1-4．（2023下·江西·高一校联考期中）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（    ） A．，是该平面所有向量的一组基底， B．，是该平面所有向量的一组基底， C．，不是该平面所有向量的一组基底， D．，不是该平面所有向量的一组基底， （二） 用基底表示向量 1．用基向量表示向量的三个依据 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则； (2)向量减法的几何意义； (3)数乘向量的几何意义． 2．关于基底的一个结论 设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.　　 题型2：用基底表示向量 2-1．（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023下·陕西渭南·高一统考期末）如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则向量=（    ） A． B． C． D． 2-3．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（    ） A． B． C． D． 2-4．（2023·高一课时练习）如图，已知分别是矩形的边，的中点，与交于点G，若，，用基底，表示. （三） 平面向量基本定理的应用 利用平面向量基本定理解题的策略： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式． 题型3：平面向量基本定理的应用 3-1．（重庆市铜梁区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（    ） A． B． C． D． 3-2．（2023下·云南红河·高一统考期末）如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3-3．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则 . 3-4．（2023上·山东潍坊·高三统考阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 3-5．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（    ） A． B． C．2 D．6 3-6．（2023·山东济宁·统考二模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 3-7．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 一、单选题 1．（2023下·湖南·