8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-2023-2024学年高一数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019必修第二册)

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 知识一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．因此，我们可以把多面体展开成平面图形，利用求平面图形面积的方法，求多面体的表面积． 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个平行四边形、三角形、梯形组成的．侧面展开图的面积称为几何体的侧面积，故棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们各个侧面的面积之和． (1)直棱柱的侧面积：直棱柱的侧面展开图是一个矩形．如图，这个矩形的长为直棱柱底面的周长，宽为直棱柱的高，则直棱柱的侧面积． (2)正棱锥的侧面积：正棱锥的侧面展开图是由个全等的等腰三角形组成的．如图8-3.1-2，设正棱锥的底面边长为，周长为，斜高为，则正棱锥的侧面积． (3)正棱台的侧面积：正棱台的侧面展开图是由个全等的等腰梯形组成的．如图8-3.1-3，设正棱台的上、下底面边长分，其中分别是上、下底面的周长． 3．棱柱、棱锥、棱台的表面积 (1)棱柱的表面积等于它的侧面积与两底面面积的和． (2)棱锥的表面积等于它的侧面积与底面面积的和． (3)棱台的表面积等于它的侧面积与上下底面面积的和． 知识二 棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱、棱锥、棱台的高 (1)棱柱的高：两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的高：从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (3)棱台的高：两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足(垂线与下底面的交点)之间的距离． 2．棱柱的体积 棱柱的体积：一般地，如果棱柱的底面积是，高是，那么这个棱柱的体积． 3．棱锥的体积 棱锥的体积：一般地，如果棱锥的底面面积为，高为，那么该棱锥的体积． 4．棱台的体积 棱台的体积：由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式，其中分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高．考点01：棱柱表面积的有关计算 1．若正四棱柱的底面周长为，高为，则该正四棱柱的表面积为 . 2．如图，底面为菱形的直棱柱的两个对角面和的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为 ． 3．长方体的所有棱长和为56，表面积为112，求长方体的对角线长． 4．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求: (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长； (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积. 考点02：棱锥表面积的有关计算 5．棱长为的正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知正四棱锥的底面正方形的中心为，若高，，则该四棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 7．圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的侧面积等于 . 8．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？    考点03：棱台表面积的有关计算 9．已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，则该四棱台的表面积为（    ） A． B．34 C． D．68 10．正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为，则该棱台的高为 ．      12．若五棱台的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为 ． 考点04：柱体体积的有关计算 13．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B．4 C． D． 14．一个长方形容器中盛有水，面为正方形且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于（    ）    A．4 B．8 C．10 D．12 15．若正四棱柱的底面边长为3，高为4，则该棱柱的体积为 16．已知圆柱的底面半径为1，高为4，则它的内接正三棱柱的体积等于 . 考点05：锥体体积的有关计算 17．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（    ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 18．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆