预习05数量积的坐标表示（六大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习05数量积的坐标表示 一、平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 二、平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 考点01数量积的坐标运算 【方法点拨】进行向量的数量积运算的两条途径:（1）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;（2）先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 【例1】已知向量满足，则（    ） A． B．0 C．5 D．7 【例2】在等腰直角中，，，是边上一点，且，则 . 【变式1-1】若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则 ． 【变式1-2】已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是 ． 【变式1-3】已知为内一点，若，则 ． 考点02向量模的坐标表示 【方法点拨】若,则,于是有 【例3】在平面向量，中，已知，，如果，那么 ；如果，那么 . 【例4】已知向量满足. (1)求； (2)若，求的最小值. 【变式2-1】（多选）已知向量，若，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．－2 【变式2-2】已知向量，． (1)求的坐标及； (2)若与共线，求实数的值． 【变式2-3】在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 考点03向量垂直的坐标表示 【方法点拨】 【例5】已知向量，，若，则 . 【例6】已知为矩形，点在线段上，且满足，则满足条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【变式3-1】已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式3-2】（多选）已知为直角三角形，且，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】设A、B、C、D为平面内的四点，且，，． (1)若．求D点的坐标； (2)设向量，，若向量与垂直，求实数k的值． 考点04向量夹角的坐标表示 【方法点拨】利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤： （1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；（2）利用计算出这两个向量的模；（3）由公式直接求出的值；（4）在内,由的值求角 【例7】设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【例8】已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为 ． 【变式4-1】已知向量，若实数满足，则与的夹角为 ． 【变式4-2】已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 . 【变式4-3】已知向量，向量． (1)若，求与的夹角； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 考点05投影向量的坐标表示 【方法点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式(是与方向相同的单位向量,且)中计算即可 【例9】已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例10】设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式5-1】已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 ． 【变式5-2】向量，，那么向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知，，为，的夹角，且，则在上的投影向量的坐标为 ． 考点06数量积的坐标表示与三角函数的结合 【例11】已知向量，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C．或1 D． 【变式6-1】已知点，若，则 . 【变式6-2】（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（    ） A．不存在，使得 B．当时， C．对任意，都有 D．当时，在方向上的投影向量的模为 【变式6-3】（多选）已知向量，，以下结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 一、单选题 1．已知向量满足，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 2．设，向量，，且，则（    ） A． B． C．10 D． 3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知是的边上的高，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．在等腰直角三角形ABC中，，面积为1，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．在三角形中，，若为边上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选