丹德林双球与圆锥曲线的立体视角专题讲义-2024届高三数学二轮复习

丹德林双球与圆锥曲线的立体视角 1． 基本原理 1.丹德林双球的定义 如图1所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球. 图1 图2 如图1，设直线分别与圆锥母线交于两点，再设过点的母线分别与，交于两点，由切线长定理：，，故. 同理，对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点，过的母线分别与，交于两点，则. 即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长. 2.长轴长与双球半径之间的关系：设两个球，的半径分别为，球心距，则如图2，图3，. 3.焦距与双球半径之间的关系：如图4，设， 由于，最终求出. 图3 图4 4.离心率与截面角之间的关系 在空间中，已知圆锥是由围绕旋转得到的，我们把称为轴.用平面截圆锥，得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴所成的线面角（显然，当与平行时，），具体关系如下： （1） 若，平面截圆锥面所得截口曲线为椭圆； （2） 若，平面截圆锥面所得截口曲线为抛物线： （3） 若，平面截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值就是圆锥曲线的离心率，离心率是一个比. 二．典例分析 例1．（2023届广州一模）如图是数学家 Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________. 解析：设，由，解得， 所以，所以， 设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示， 则，两式相加得，即，过作，垂直为，则四边形为矩形，所以，，所以椭圆的离心率为. 故答案为： 例2.如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球，的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为___________． 解析：如图，A、B为圆锥的一条母线与球的切点，连接、，则，连接，过作交于点D，则，在直角中，，所以，解得，故，在和中，，，为公共边，所以，有.同理可得，由椭圆的定义，得长轴+.故答案为：. 例3．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线. 解析：（1）因为圆锥的母线与它的轴的夹角为，所以，且，所以直角三角形中，，所以 ，又因为，所以，，故椭圆的标准方程为 （2）设， 由题可知直线AB的斜率存在且不为0， 设其方程为，代入椭圆，得： 所以，所以， 由题可知直线的方程为，且，所以 求得：，，所以，故O，D，M三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $$