江苏省如皋市2023-2024学年高三上学期1月诊断测试数学试题

如皋市2024届高三1月诊断测试 数 学 试 题 2024.1 ( 注意事项（请考生 作答前 认真阅读以下内容）： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 试卷共4页， 共 19 小题 ；答题卡共2页. 满分150分.考试用时120分钟. 命题：马超 ) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ▲ ）. A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，，且前x项和，（ ▲ ）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，则（ ▲ ）. A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ▲ ）种停放方法. A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 5. 已知的边BC的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ▲ ）. A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6. 函数的图象为椭圆轴上方的部分，若，，成等比数列，则点的轨迹是（ ▲ ）. A. 线段（不包含端点） B. 椭圆一部分 C. 双曲线一部分 D. 线段不包含端点和双曲线一部分 7. 已知，，则（ ▲ ）. A. 3 B. C. D. 2 8. 双曲线C：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，若C上一点T满足，则T到C的两条渐近线距离之和为（ ▲ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数是关于x的方程的两根，则（ ▲ ）. A. B. C. D. 若，则 10. 若函数，则（ ▲ ）. A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 的单调递减区间为， 11. 设a为常数，，，则（ ▲ ）. A. B. 恒成立 C. D. 满足条件的不止一个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ▲ . 13. 已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 ▲ 时，圆锥的体积最大，最大值为 ▲ . 14. 函数的最小值 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分） 设，曲线在点处取得极值. （1）求a； （2）求函数的单调区间和极值. 16. （本小题满分15分） 袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验． （1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值； （2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值． 17. （本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，，，且平面平面 （1）证明：平面平面； （2）设点P为直线BC的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. （本小题满分17分） 已知抛物线E：的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． （1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程； （2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于 19. （本小题满分17分） 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量. 设，，，定义加法和数乘：，. 对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①，； ②，，； ③，，， （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由． （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则 ( 高三