专项训练－构造中位线解题的常用方法应用训练课件2023-2024学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下 构造中位线解题的常用方法 应用训练 八年级数学（下）专项训练 　　三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系.因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线. ⁠ ⁠如图，在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，AM⊥CE于点M，AN⊥BD于点N.求证：MN＝(AB＋AC－BC). 方法：图中不存在中点，但结论与三角形中位线定理很类似，因此应设法寻找中点，再构造三角形的中位线.要证明MN＝(AB＋AC－BC)，可找以MN为中位线的三角形，故延长AM交BC于点F，延长AN交BC于点G，易证明2MN＝FG，而FG＝BG＋FC－BC.又易证明BG＝AB，FC＝AC，故问题得证. 证明：如图，延长AM，AN分别交BC于点F，G. ∵BD平分∠ABC，AN⊥BD， ∴∠ABN＝∠GBN，∠ANB＝∠GNB＝90°. 在△ABN和△GBN中， ∴△ABN≌△GBN(ASA). ∴AN＝GN，AB＝GB. 同理可得AM＝FM，AC＝FC. ∴M，N分别为AF，AG的中点. ∴MN＝FG. 又∵FG＝BG＋FC－BC＝AB＋AC－BC， ∴MN＝(AB＋AC－BC). 训练1：连接两点构造三角形的中位线 1.[2023·广西]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　 　⁠. 　 【点拨】 　　 连接AE，首先证明出MN是△AEF的中位线，得出 MN＝AE，然后由正方形的性质和勾股定理得到AE＝＝，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，易知当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可. 训练2：已知角平分线及垂直构造中位线 2.如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD.若AB＝12，AC＝18，求DM的长. 【解】如图，延长BD交AF于点N. 由题意知∠NAD＝∠BAD，∠ADN＝∠ADB＝90°. 又∵AD＝AD， ∴△AND≌△ABD(ASA). ∴DN＝DB，AN＝AB. 又∵M为BC的中点， ∴DM为△BNC的中位线. ∴DM＝NC＝(AN＋AC)＝(AB＋AC)＝15. 3.如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点.求DE的长. 【解】如图，延长BD交AC于点F. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°. 又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA). ∴AF＝AB＝6，BD＝FD. ∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4. ∵E为BC的中点，D是BF的中点， ∴DE是△BCF的中位线. ∴DE＝CF＝×4＝2. 训练3：倍长法构造三角形的中位线 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点.求证：ME＝CF. 【证明】如图，延长FE至N，使EN＝EF， 连接BN，AN，易得ME＝AN. ∵EF＝EN，∠BEF＝90°， ∴BE垂直平分FN. ∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN. ∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， ∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°. ∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°. 又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN. 在△BCF和△BAN中， ∴△BCF≌△BAN(SAS). ∴CF＝AN.∴ME＝AN＝CF. 训练4：已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线 5.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，M，N分别为AD，BC的中点，EF⊥MN交AB于点E，交CD于点F.求证：∠AEF＝∠DFE. 【证明】NM的延长线与BA的延长线交于点P，与CD的延长线交于点Q，连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG，如图所示. ∵G为BD的中点，M，N分别为边AD，BC的中点， ∴MG，NG分别是△ABD，△BCD的中位线. ∴MG∥AB，MG＝AB，NG∥CD，NG＝CD. ∵AB＝CD，∴MG＝NG，∴∠GMN＝∠GNM. ∵MG∥AB，∴∠GMN＝∠BPN. ∵NG∥CD，∴∠GNM＝∠NQC. ∴∠BPN＝∠NQC. ∵EF⊥MN，∴∠BPN＋∠AEF＝90°，∠NQC＋∠DFE＝90°， ∴∠AEF＝∠DFE. 训练5：已知一边中点，推理得出另一边中点，再取第三边中点构造三角形的中位线 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，连接