专项训练－利用勾股定理判定直角的常用方法训练课件2023-2024学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下 利用勾股定理判定直角的 常用方法训练 八年级数学(下)专项训练 证明垂直的方法 1.在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条; 2.等腰三角形中“三线合一”; 3.直角三角形的判定.在几何中,我们常常先证明垂直,再利用垂直的性质来解决相关问题. 某校把一块三角形的废地开发为植物园,如图,测得AC=80 m,BC=60 m,AB=100 m. (1)若入口E在边AB上,且与A,B的距离相等.求从入口E到出口C的最短路线的长(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半); (2)若线段CD是一条水渠,且点D在边AB上, 点D距点A多远时,水渠最短? 方法:解决实际生活中的问题,需先将实际问题通过建立数学模型转化为数学问题,再利用数学知识进行解答. 解:(1)∵AC=80 m,BC=60 m,AB=100 m, ∴AC2+BC2=802+602=6 400+3 600=1002=AB2. ∴ ABC为直角三角形,且AB为斜边. 又∵AE=EB,∴CE=AB= 100=50(m), 即从入口E到出口C的最短路线的长为50 m. (2)当CD⊥AB时,CD最短. ∵∠ACB=90 ,CD⊥AB, ∴S ABC=AB CD=AC BC. ∴CD=48 m. 在Rt ACD中,∵AC2=AD 2+CD2, ∴802=AD2+482.∴AD=64 m, 即点D距点A 64 m时,水渠最短. 训练1:利用三边的数量关系证明直角 1.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且CE=BC. 求证:∠AFE是直角. 【证明】 如图,连接AE. 设CE=a,则BC=4a,BE=3a. ∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=AD=CD=BC=4a. ∵F为CD的中点,∴DF=CF=2a. 由勾股定理得AF2=AD2+DF2=(4a)2+(2a)2=20a2 ,EF2=CE2+CF2=a2+(2a)2=5a2,AE2=AB2+BE2=(4a)2+(3a)2=25a2. ∵20a2+5a2=25a2,∴AF2+EF2=AE2. ∴∠AFE=90 ,即∠AFE是直角. 训练2:利用转化为三角形法构造直角三角形 2.如图,在四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90 . (1)求证:CD⊥AD. 【证明】如图,连接AC,∵∠B=90 , ∴AC===25. ∵242+72=252,即AD2+CD2=AC2, ∴∠D=90 ,∴CD⊥AD. (2)求四边形ABCD的面积. 【解】四边形ABCD的面积=S ACD+S ACB= 24 7+ 20 15=234. 训练3利用倍长中线法构造直角三角形 3.如图,在 ABC中,D为边BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13.求证:AB⊥AD. 【证明】如图,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE. ∵D为BC的中点, ∴CD=BD. 又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB, ∴ ADC≌ EDB(SAS). ∴EB=AC=13. 在 ABE中,AE=2AD=12,AB=5, ∴AE2+AB2=122+52=169. 又∵EB2=132=169,∴AE2+AB2=EB2. ∴ ABE是直角三角形,且∠BAE=90 , 即AB⊥AD. 训练4:利用化分散为集中法构造直角三角形 4.如图,在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45 ,设AM=a,MN=x,BN=b,判断以x,a,b为边长的三角形的形状. 【解】∵AC=BC,∠ACB=90 ,∴将 ACM绕点C逆时针旋转90 ,可得 BCD,连接ND,如图所示. 则∠A=∠CBD,CM=CD,BD=AM=a,∠MCD=90 . ∵∠MCN=45 ,∴∠DCN=∠MCN=45 . 又∵CN=CN, ∴ MCN≌ DCN(SAS).∴DN=MN=x. ∵∠A=∠CBA, ∴∠NBD=∠CBA+∠CBD=∠CBA+∠A=90 . ∴ NBD为直角三角形, 即以x,a,b为边长的三角形是直角三角形. 训练5:利用“三线合一”法构造直角三角形 5.[2023 聊城]如图,在四边形ABCD中,点E是边BC上一点,且BE=CD,∠B=∠AED=∠C. (1)求证:∠EAD=∠EDA; (1)【证明】∵∠B=∠AED,∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED, ∴∠BAE=∠CED. 在 ABE和 ECD中, ∴ ABE≌ ECD(AAS), ∴AE=ED,∴∠EAD=∠EDA. (2)若∠C=60 ,DE=4,求 AED的面积. 【解】∵∠AED=∠C=60 ,AE=ED, ∴ AED为等边三角形, 过A点作AF⊥ED于点F, ∴EF=ED=2, ∴AF===2, ∴