专项训练-巧用勾股定理解决折叠问题应用训练 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

巧用勾股定理解决折叠问题 应用训练 八年级数学(下)专项训练 利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤: 1.运用折叠图形的性质找出相等的线段或角; 2.在图形中找到一个直角三角形,然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形的三边长用数或含有x的式子表示出来;3.利用勾股定理列方程求出x;4.进行相关计算解决问题. 如图,纸片ABCD为长方形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上的E处,折痕为AF.已知AB=10,AD=8. (1)求BF的长; (2)求折痕AF的长. 方法: 翻折问题常常在三角形和四边形中出现,翻折前后的两个图形是全等图形,利用翻折求线段长时,一般都利用勾股定理建立方程模型解决问题. 解:(1)由题意得DE===6. 设BF=x,则EF=BF=x, EC=CD-DE=AB-DE=10-6=4, FC=BC-BF=AD-BF=8-x. 在Rt EFC中,EC2+FC2=EF2, 即42+(8-x)2=x2, 解得x=5, 故BF=5. (2)在Rt ABF中,由勾股定理得AB2+BF2=AF2. ∵AB=10,BF=5, ∴AF==5. 训练1:巧用对称法求折叠中线段的长 1.在 ABC中,∠C=90 ,AC=6,BC=8,D,E分别是斜边AB和直角边CB上的点,把 ABC沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是B'. (1)如图①,如果点B'和顶点A重合,求CE的长; 【解】(1)设CE=x,则BE=8-x, 由题意得AE=BE=8-x. 由勾股定理得x2+62=(8-x)2, 解得x=. 即CE的长为. (2)如图②,如果点B'是AC的中点,求CE的长. 【解】∵点B'是AC的中点, ∴CB'=AC=3. 设CE=y,类比(1)中的解法,可列出方程y2+32=(8-y)2,解得y=. 即CE的长为. 2.如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B'处,点A落在点A'处. (1)求证:B'E=BF; 【证明】∵在长方形ABCD中,AD∥BC, ∴∠B'EF=∠EFB. 由题意得∠B'FE=∠EFB, ∴∠B'FE=∠B'EF.∴B'E=B'F. 又易知BF=B'F,∴B'E=BF. (2)若AE=3,AB=4,求BF的长. 【解】由题易知∠A'=∠A=90 . 在Rt A'B'E中,A'B'=AB=4,A'E=AE=3, ∴B'E2=A'B'2+A'E2=42+32=25. ∴B'E=5.∴BF=B'E=5. 训练2:巧用方程思想求折叠中线段的长 3.已知:如图,在边长为12的正方形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将 DCE沿DE折叠至 DFE,延长EF交AB于点G,连接DG. (1)求∠GDE的度数; 【解】(1)将 DCE沿DE折叠至 DFE,∴∠DFE=∠C=90 ,DC=DF.∴∠DFG=90 . ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DAG=90 =∠DFG,DA=DC=DF. 在Rt DAG与Rt DFG中, ∴Rt DAG≌Rt DFG(HL) . ∴∠ADG=∠FDG.由折叠得∠CDE=∠FDE, ∴∠EDG=∠EDF+∠GDF=∠ADC=45 . (2)求AG的长度. 【解】∵Rt DAG≌Rt DFG,∴AG=FG. 令AG=x,则BG=12-x,GF=x, ∵BE=2CE,∴BE=8,CE=4. 由折叠得EF=CE=4.∴EG=EF+FG=4+x. 在Rt BEG中,BE2+BG2=EG2, 即82+(12-x)2=(4+x)2,解得x=6.∴AG=6. 4.[2023 丽水]如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF. (1)求证: PDE≌ CDF; 【证明】∵四边形ABCD是长方形, ∴∠A=∠ADC=∠B=∠C=90 ,AB=CD. 由折叠得,AB=PD,∠A=∠P=90 , ∠B=∠PDF=90 , ∴PD=CD,∠P=∠C=90 ,∠PDF=∠ADC. ∴∠PDE=∠CDF. 在 PDE和 CDF中, ∴ PDE≌ CDF(ASA). (2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长. 【解】如图,过点E作EG⊥BC于点G, ∴∠EGF=90 ,易得EG=CD=4 cm,DE=CG,BG=AE=PE=CF. 在Rt EGF中,由勾股定理得 FG==3(cm). 设CF=x cm,则BG=x cm,DE=CG=(x+3)cm. ∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE. 由折叠得∠BFE=∠DFE,∴∠DEF=∠DFE. ∴DF=DE=(x+3)cm. 在Rt CDF中,由勾股定理得DF2=CD2+CF2, ∴42+x2=(x+3)2.∴x=. ∴BC=++3=(cm). 训练3:巧用折叠探究线段之间的数量关系 5.