专项训练－巧用勾股定理求最短路径的长应用训练课件2023-2024学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下 巧用勾股定理求最短路径的长 应用训练 八年级数学（下）专项训练 　　求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后利用勾股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将最短路径的长转化为两点间的距离，然后构造直角三角形，利用勾股定理求出最短路程(距离). ⁠ ⁠ 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到蜂蜜的最短路线长. 方法：求最短路线长，就是将要求的路线长转化为两点之间或点到直线的距离来进行计算.转化是求最短路线长的核心步骤.本题利用化曲为直，即将圆柱侧面展开成平面图形，将最短路线长转化为两点之间的距离，再结合几何图形的相关知识进行求解. 解：如图，将圆柱侧面的一半展开，作CD⊥FA于D，作A关于直线EF的对称点A'，连接A'C，与EF交于B，连接AB，则AB＝A'B，故A→B→C为最短路线. 由题意知DC＝9 cm，FD＝8 cm，FA'＝4 cm. 在Rt△A'DC中，A'C2＝A'D2＋DC　2＝(FA’＋ FD)2＋DC　2＝(4＋8)2＋92＝225＝152， ∴A'C＝15 cm. ∵AB＋BC＝A'B＋BC＝A'C， ∴最短路线长为15 cm. 训练1：用计算法解决平面中的最短问题 1.某生态园景区P在一条东西走向的公路旁，路边原有两个公交站点A，B，并分别修有直达景区的小路AP与BP.由于某种原因，A站点停止使用，为方便游客坐公交车来景区，相关部门决定新建一个站点C(A，C，B在一条直线上)，并新修一条路CP，测得BP＝1.3 km，CP＝0.5 km，BC＝1.2 km.判断CP是否为从景区P到公路边的最近路线，请说明理由. 【解】CP是从景区P到公路边的最近路线. 理由如下：∵BP2＝1.32＝1.69，CP2＋BC2＝0.52＋1.22＝0.25＋1.44＝1.69，∴BP2＝CP2＋BC2. ∴△BPC是直角三角形，且∠BCP＝90°. ∴CP是从景区P到公路边的最近路线. 训练2：用平移法解决平面中的距离问题 2.如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m.则小明到达的终点与出发点的距离是 　100 m　⁠. 100 m　 (第2题) 【点拨】 　　如图，连接AB，作AC⊥BD于点C. ∵AC＝40＋40＝80(m)，BC＝70－20＋10＝60(m)， ∴AB2＝602＋802＝1002，则AB＝100 m. 3.如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是 　10　⁠. (第3题) 10　 训练3：用对称法解决平面中的最短问题 4.如图，A，B两村在笔直河岸的同侧，A，B两村到河岸的距离分别为AC＝2 km，BD＝5 km，CD＝6 km，现在要在河岸CD上建一水厂E向A，B两村输送自来水，要求水厂E到A，B两村的距离之和最小. (1)在图中作出水厂E的位置(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 【解】如图所示，点E即为水厂的位置. (2)求水厂E到A，B两村的距离之和的最小值. 【解】如图，过点A'作A'F⊥BD交BD的延长线于点F，连接AE，则A'F＝CD，DF＝A'C. 易知A'C＝AC，AE＝A'E， ∵AC＝2 km，BD＝5 km，CD＝6 km， ∴BF＝BD＋DF＝5＋2＝7(km)， A'F＝CD＝6 km， ∴水厂E到A，B两村的距离之和的最小值为AE＋BE ＝A'E＋BE＝A'B＝＝(km). 训练4：用展开法解决立体图形中的最短问题 类型1圆柱中的最短问题 5.有一只蚂蚁要沿一个圆柱形玻璃杯的侧面从点A处爬到点B处(点A，B均在玻璃杯外部)，如图所示，已知杯子高8 cm，点B距杯口3 cm，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短路程为多少？(π取3) 【解】此圆柱形玻璃杯的侧面展开图为长方形ACDE，如图所示，其中AC的长为圆柱形玻璃杯的底面周长，连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短路径.过点B作BE'⊥AE于点E’. ∵AC＝2πr≈2×3×4＝24(cm)，∴E'B＝AC≈12 cm. ∵EA＝8 cm，EE'＝3 cm，∴AE'＝EA－EE'＝8－3＝5(cm). 在Rt△ABE'中，AB2＝AE'2＋E'B2≈52＋122＝132， ∴AB≈13 cm. 即蚂蚁从A点爬到B点的最短路程约为13 cm. 类型2圆锥中的最短问题 6.如图，观察图形解答