比例应用题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

授课主题 比例应用题 知 识 梳 理 一、比和比例的性质 性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例 　　① 　　； ； ； ② 　　； (其中)； ③ 　；　； ； ④ ， ；； ⑤ 的等于的，则是的，是的． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配 例如：将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与的比分别为和，所以甲分配到个，乙分配到个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别、，元素的数量比为(这里)，数量差为，那么的元素数量为，的元素数量为，所以解题的关键是求出与或的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。 2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。 3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。 4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题 例题精讲 基础题 模块一、比例转化 例1、 甲、乙、丙三个数，已知甲:（乙+丙），乙:丙，求甲:乙:丙。 【解析】 由可得到，，而， 所以：． 【答案】 例2、 甲、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲、乙的速度比是 ． 【解析】 甲走的路程是乙走的路程的，甲用的时间是乙用的时间的，所以甲的速度是乙的速度的，即甲、乙的速度比是． 【答案】 例3、 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的是草地；圆的是竹林；竹林比草地多占地450平方米． 问：水池占多少平方米? 【解析】 正方形的是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是3份； 圆的是竹林，水池占1份，竹林的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3份。3份的面积是450平方米，可见1份面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米。 【答案】150 例4、 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下、的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比. 【解析】 (法一)甲工程队以倍乙工程队建设速度，仅完成了的承包任务，而乙工程队完成了，所以甲工程队承包任务的等于乙工程队承包任务的，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为． (法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于，而他们分别完成了各自任务的和，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为． 【答案】 模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应 例1、一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到个，而甲、乙两班的人数比为，求一共有多少个苹果？ 【解析】 一共有个苹果. 【答案】个 例2、 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？ 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了个零件(涉及到数量差和数量比的题在以下题目中详细讲述). 【答案】个 例3、 甲、乙两只蚂蚁同时从点出发，沿长方形的边爬去，结果在距点厘米的点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的倍，求这个长方形的周长． 【解析】 两只蚂蚁在距点厘米的点相遇，说明乙比甲一共多 走了(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的倍，相同时间内 乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，所以甲爬的路程 是(厘米)，乙爬的路程是(厘米)， 长方形的周长为(厘米)． 【答