精品解析：湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷

2023-2024学年度上学期期末 新洲区部分学校高中二年级质量检测 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 2024．01 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（ ） A. 160 B. 253 C. 180 D. 190 3. 如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（    ） A. B. C. D. 4. 设直线方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 6. 已知原点到直线的距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 7. 手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 B. 过双曲线焦点的最短弦长为 C. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 已知，，则在方向上的投影向量为 10. 已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. 是递减数列 B. C. 使时的最小值是21 D. 最小时， 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，“它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有6条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，最小值是 12. 如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ） A. 与所成角为 B. 平面截正方体所得截面的面积为 C. 平面 D. 若，则三棱锥体积最大值是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面3节的容积共3升，最下面3节的容积共6升，则第5节的容积为__________升． 14. 已知直线互相垂直，则的值为______ . 15. 已知点是抛物线上一动点，则的最小值为_________． 16. 如图，在棱长为3正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解答下列问题： （1）求过点，且与直线平行的直线方程； （2）求过点，，三点的圆的标准方程． 18. 设为数列的前n项和，且 （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 20. 已知圆. （1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； 21. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）． （1）证明：AE⊥PB； （2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值． 22. 已知双曲线方程为，，为双曲线的左、有焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作