10.2 二项式定理（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

10.2 二项式定理 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 2. 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或 3. 二项式系数和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝. 考点1 求二项式的第k项 【例1】二项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 【变式1-1】展开式的第项为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】二项式的展开式的第3，4，5项之和是（    ）． A．460 B．140 C． D． 【变式1-3】的展开式中的第三项为（    ） A． B． C． D． 考点2 求二项式系数 【例2】在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（    ） A．28 B．56 C．70 D．112 【变式2-1】在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A．5 B． C．10 D． 【变式2-2】已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】求的展开式的第4项的二项式系数（    ） A． B． C．15 D．20 考点3 二项式系数最大问题 【例3】已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式3-2】若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 考点4 求系数 【例4】在展开式中的系数为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-1】在的展开式中，的系数为（    ） A． B．120 C． D．60 【变式4-2】在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．8 B．28 C．56 D．70 【变式4-3】．的展开式中，的系数为（   ） A．1 B．5 C．10 D．20 考点5 系数最大问题 【例5】的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【变式5-1】的展开式中各项系数的最大值为（    ）． A．112 B．448 C．896 D．1792 【变式5-2】按降幂排列的展开式中，系数最大的项是（    ） A．第项和第项 B．第项 C．第项和第项 D．第项 【变式5-3】展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（    ） A．120 B．210 C．252 D．45 考点6 二项式系数和 【例6】若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．56 D．70 【变式6-1】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（    ） A．二项式系数和为32 B．各项系数和为128 C．常数项为 D．常数项为135 【变式6-2】已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（    ） A．81 B．64 C．27 D．32 【变式6-3】已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（    ） A． B．240 C． D．160 考点7 奇次项和偶次项 【例7】，则（    ） A．41 B．40 C． D． 【变式7-1】若，则（