7.3 数列求和综合（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

7.3 数列求和综合 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 4．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 考点1 分组求和 【例1】．在数列中，且满足（且）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【变式1-1】已知数列满足 (1)令，求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和为. 【变式1-2】已知数列满足，． (1)记，证明：是等比数列，并求的通顶公式； (2)求数列的前项和． 【变式1-3】已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式1-4】已知等差数列的前n项和为 ，且满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足 求数列的前n项和. 考点2 裂项相消求和 【例2】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式2-1】在等差数列中，是它的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式2-2】已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求证：. 【变式2-3】在数列中，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式2-4】已知数列是首项为2的等比数列,且是和的等差中项． (1)求的通项公式； (2)若数列的公比,设数列满足,求的前2023项和． 考点3 错位相减求和 【例3】已知数列满足，. (1)证明：是等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【变式3-1】已知数列的前项和为，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【变式3-2】已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式3-3】数列中，． (1)求数列的通项公式． (2)求前n项和． 【变式3-4】已知数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，若的前n项和为，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 数列求和综合 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 4．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 考点1 分组求和 【例1】．在数列中，且满足（且）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）变形得到，得到结论； （2）在（1）的基础上得到，进而利用分组求和可得. 【详解】（1）（且）， （且）， ， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）是首项为2，公比为2的等比数列， ，故， . 【变式1-1】已知数列满足 (1)令，求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和为. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义判断，即可证明； （2）根据题意，结合分组求和法，再由等差数列求和以及等比数列求和公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）∵， ∴数列是以首项为，公比为等比数列； （2）由（1）可知：， ∴，