3.2 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

3.2 函数的性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2. 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 4. 周期性（差为常数有周期）（拓展） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴）（拓展） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 周期性对称性综合问题（拓展） ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 7. 奇偶性对称性综合问题（拓展） ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 考点1 求函数单调区间 【例1】函数的单调递减区间为 ． 【变式1-1】函数的单调递减区间为 . 【变式1-2】函数的单调增区间为 【变式1-3】已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 考点2 由单调性解不等式 【例2】函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知偶函数在上单调递增，且，则满足的x取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点3 由奇偶性求参数值 【例3】已知是奇函数，则 . 【变式3-1】若为偶函数，则 . 【变式3-2】若函数是偶函数，则实数的值为 ． 【变式3-3】函数是奇函数，则 . 考点4 由奇偶性求解析式 【例4】为定义在上的奇函数，当时，，则时， ． 【变式4-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【变式4-2】已知函数是定义域为的偶函数，当时，.则当时， . 【变式4-3】已知定义在R上的函数是奇函数，当时，，则 ． 考点5 由奇偶性解不等式 【例5】若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 . 考点6 由周期性求函数值 【例6】已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．3 B．0 C． D． 【变式6-1】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A．0 B． C． D．3 【变式6-2】已知函数的定义域为，，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式6-3】已知函数的定义域为，且，，则（    ） A．2024 B． C． D．0 考点