4 特色专题（9） 概率统计中的决策模型（课件PPT）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

2024版·数学（新高考） 01篇　强化7 大专题 特色专题(九)　概率统计中的 决策模型 专题四 概率与统计 【编者按】　以概率统计为背景的优化决策问题是近几年高考的热点，多考查数字特征如平均值、方差等的大小问题，最值问题，随机事件的概率是否在一定的范围中，正态分布中的“3­σ”原则的应用等． 题型一　利用期望决策方案模型 【例1】(2023·福建福州质检)某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加n(n∈N*，且n≥2)次抽奖，每次中奖的概率为 eq \f(1,3) ，不中奖的概率为 eq \f(2,3) ，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个： 方案①，若中奖则得30分，否则得0分； 方案②，若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分． 第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束． (1)如果n＝2，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由． (2)记顾客甲第i次获得的积分为Xi(i＝1，2，…，n)，并且选择方案②.请直接写出E(Xi＋1)与E(Xi)的递推关系式，并求E(X8)的值．(精确到0.1) 参考数据：( eq \f(2,3) )7≈0.059. 解：(1)若顾客第2次抽奖选方案①，记两次抽奖累计积分为ξ，则ξ的所有可能取值为40，35，10，5. 则P(ξ＝40)＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,9) ，P(ξ＝35)＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,9) ，P(ξ＝10)＝ eq \f(1,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(2,9) ，P(ξ＝5)＝ eq \f(2,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(4,9) ， 所以E(ξ)＝ eq \f(1,9) ×40＋ eq \f(2,9) ×35＋ eq \f(2,9) ×10＋ eq \f(4,9) ×5＝ eq \f(40,9) ＋ eq \f(70,9) ＋ eq \f(20,9) ＋ eq \f(20,9) ＝ eq \f(150,9) ＝ eq \f(50,3) . 若顾客甲第2次抽奖选方案②，记两次抽奖累计积分为η，则η的所有可能取值为30，15，10. 则P(η＝30)＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,9) ，P(η＝15)＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(4,9) ，P(η＝10)＝ eq \f(2,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(4,9) ， 所以E(η)＝ eq \f(1,9) ×30＋ eq \f(4,9) ×15＋ eq \f(4,9) ×10＝ eq \f(30,9) ＋ eq \f(60,9) ＋ eq \f(40,9) ＝ eq \f(130,9) . 因为E(ξ)>E(η)，所以顾客甲应选择方案①. (2)依题意得E(Xi＋1)＝ eq \f(1,3) ×2E(Xi)＋ eq \f(2,3) ×5＝ eq \f(2,3) E(Xi)＋ eq \f(10,3) . 由E(Xi＋1)＝ eq \f(2,3) E(Xi)＋ eq \f(10,3) ，得E(Xi＋1)－10＝ eq \f(2,3) [E(Xi)－10]， X1的所有可能取值为10，5，其分布列为 X1 10 5 P eq \f(1,3) eq \f(2,3) 所以E(X1)＝ eq \f(20,3) ，则E(X1)－10＝－ eq \f(10,3) ， 所以{E(Xi)－10}为等比数列，其首项为－ eq \f(10,3) ，公比为 eq \f(2,3) . 所以E(X8)－10＝－ eq \f(10,3) ×( eq \f(2,3) )7，所以E(X8)＝－ eq \f(10,3) ×( eq \f(2,3) )7＋10≈9.8. 通过期望值的比较决策方案时，注意题中条件要求． 【对点练】 1.(2023·九江模拟)瑞昌剪纸被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．