4 特色专题（8） 非线性回归问题（课件PPT）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

2024版·数学（新高考） 01篇　强化7 大专题 特色专题(八)　非线性回归问题 专题四 概率与统计 【编者按】　有些回归分析不一定适合用线性回归分析刻画、分析，也许更适合用非线性回归分析解决问题，有些非线性回归分析问题并不给出经验公式，这时需要可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题化为线性回归问题． 题型一　与y＝a＋b eq \r(x) 相关的问题 【例1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近年8年的宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． eq \o(x,\s\up6(－)) eq \o(y,\s\up6(－)) eq \o(w,\s\up6(－)) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝ eq \r(xi) ， eq \o(w,\s\up6(－)) ＝ . (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d eq \r(x) 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝a＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为 eq \o(β,\s\up6(^)) ＝ ， eq \o(a,\s\up6(^)) ＝ eq \o(v,\s\up6(－)) － eq \o(β,\s\up6(^)) eq \o(u,\s\up6(－)) . 解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d eq \r(x) 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型． (2)令w＝ eq \r(x) ，先建立y关于w的线性回归方程． 由于 eq \o(d,\s\up6(^)) ＝ ＝ eq \f(108.8,1.6) ＝68， eq \o(c,\s\up6(^)) ＝ eq \o(y,\s\up6(－)) － eq \o(d,\s\up6(^)) eq \o(w,\s\up6(－)) ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于w的线性回归议程 eq \o(y,\s\up6(^)) ＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为 eq \o(y,\s\up6(^)) ＝100.6＋68 eq \r(x) . (3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值 eq \o(y,\s\up6(^)) ＝100.6＋68 eq \r(49) ＝576.6， 年利润z的预报值 eq \o(z,\s\up6(^)) ＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 eq \o(z,\s\up6(^)) ＝0.2(100.6＋68 eq \r(x) )－x＝－x＋13.6 eq \r(x) ＋20.12. 所以当 eq \r(x) ＝ eq \f(13.6,2) ＝6.8，即x＝46.24时， eq \o(z,\s\up6(^)) 取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 与y＝a＋b eq \r(x) 相关的非线性回归问题，常用换元法设t＝ eq \r(x) ，转化为y＝a＋bt类型的线性回归问题处理． 【对点练】 1.某私营业主为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解月宣传费x(单位：百元)对月销售量y(单位：t)和月利润z(单位：百元)的影响，对8个月的宣传费xi和销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值． eq \o(x,\s\up6(－)) eq \o(y,\s\up6(－)) eq \o(w,\s\up6(－)) 5.4 563 2.2 63.88 3.7 645.188 151.7 (1)根据散点图判断y＝c＋d eq \r(x) 适宜作为月销售量y关于月宣传费x的回归方程类型，求y关于x的回归方程；(表中ωi＝ eq \r(xi) ) (2)已知这种产品的月利润z与x，y的关系为z＝2y－x，根据(1)的结果，当月宣传费x＝16(百元)时，求月利润的预测值． 解