预习03 向量的数量积运算（六大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习03向量的数量积运算 一、向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 二、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 三、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 四、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 五、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 考点01简单数量积运算 【方法点拨】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 【例1】“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】单位向量相互垂直，则 . 【变式1-1】（多选）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【变式1-2】已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【变式1-3】已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 考点02向量模的有关计算 【方法点拨】求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 【例3】已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ） A．2 B． C． D． 【例4】已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知向量，的夹角为，，，则 ． 【变式2-2】已知单位向量满足，则 . 【变式2-3】已知向量满足，则 ． 考点03向量夹角的有关计算 【方法点拨】求向量,的夹角的思路 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 【例5】已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，且，则向量夹角的余弦值为 . 【变式3-2】已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为 ． 【变式3-3】已知两个单位向量，满足，则 ． 考点04向量垂直的有关计算 【方法点拨】涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律. 【例7】若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知向量，不共线，，． (1)若，求的值，并判断，是否同向； (2)若，与夹角为，当为何值时，． 【变式4-1】对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时，？ 【变式4-3】已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为 . 考点05投影向量的有关计算 【方法点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 【例9】已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（    ） A．60° B．120° C．135° D．150° 【例10】已知向量，满足，，且和的夹角为. (1)求； (2)求在上的投影向量的长度. 【变式5-1】已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知． (1)求与的夹角； (2)若在方向上的投影向量为，求的值． 【变式5-3】已知，，且，则在上的投影向量为 . 考点06几何与数量积运算 【方法点拨】一般将参与数量积运算的向量利用线性运算转化成已知向量（夹角可知） 【例11】等边边长为，，则（    ） A． B． C． D． 【例12】如