圆锥曲线 分类汇编-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学试题

2024.1各区高三圆锥曲线题目汇编 1.（2024.1丰台区高三期末11）双曲线的渐近线方程________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=± ∴双曲线的渐近线方程为y=± 故答案为y=± 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 2.（2024.1丰台区高三期末20）已知椭圆． （1）求椭圆的离心率和焦点坐标； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【答案】（1）离心率为，焦点坐标分别为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标； （2）根据直线与椭圆相切求出坐标并得到， 法一：设直线的方程为，由韦达定理求出证得结论． 法二：记，由点差法求可证得结论． 【小问1详解】 由题意得，解得． 所以椭圆E的离心率为，焦点坐标分别为，． 【小问2详解】 由消去y并整理得： ① 其判别式得，化简为． 此时方程①可化为，解得， (由条件知异号) ． 记，则，所以，即点． 所以OP的斜率． 法一：因为，所以可设直线的方程为． 由消去y并整理得：． 当其判别式大于零时，有两个不相等的实根， 设，则． 因为C是A关于原点O的对称点，所以点C的坐标为． 所以直线BC的斜率 ． 所以． 法二：记， 因为点C与点A关于原点对称，所以． 因为，所以直线AB的斜率为，所以． 因为点在椭圆上，所以，． 两式相减得：． 所以，即，所以． 所以． 【点睛】方法点睛：将P视为与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得，设中点为M，由中点弦定理得，由得，故. 3.（2024.1西城区高三期末4 ）已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案. 【详解】由于焦点，所以且双曲线的焦点在轴上， 双曲线的渐近线，所以， 结合可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D 4.（2024.1西城区高三期末14 ）已知抛物线：.①则的准线方程为_________；②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得准线方程，利用以及抛物线的焦半径公式求得点的横坐标. 【详解】抛物线，，所以准线方程为，焦点， 设，则， 由于轴，平分，所以， 所以，即，， 所以的横坐标为. 故答案为：； 5.（2024.1西城区高三期末19）已知椭圆：的离心率为，经过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交于点（点与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，进而求得的方程. （2）根据直线与轴是否重合进行分类讨论，当直线与轴不重合时，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，利用根与系数关系来确定直线的方程. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 若直线与轴重合，则与原点重合，符合题意，此时直线的方程为. 若直线与轴不重合，设其方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， 则. 因为是的中点， 所以. 因为，所以， 整理得，解得， 此时直线经过点，不符合题意，舍去. 综上所述，直线的方程为. 6.（2024.1大兴区高三期末7）已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义，数形结合即可求出的最小值. 【详解】 由题拋物线是抛物线的焦点， 则，准线方程为， 是抛物线上的点，过作垂直准线于， 过作垂直准线于交抛物线于， 则由抛物线定义知， 由图像可知, 即的最小值的最小值为， 由，准线方程为， 所以. 故选：C 7.（2024.1大兴区高三期末12）若双曲线的一条浙近线方程为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，所以，故答案为：2 8.（2024.1大兴区高三期末19）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值. 【答案】（1