21.2 解一元二次方程　讲义　2023—2024学年人教版数学九年级上册

21.2 解一元二次方程★★★★☆☆ 【新手目标】 会用三种方法解方程，理解根的判别式的用法，会利用根与系数关系解决问题。 关卡2-1 配方法解方程★★★★☆☆ 【过关笔记】 1.直接开平方法： 形如的方程可以用直接开平方法解， 两边直接开平方得或者，。 注意：若b<0，方程无解 2.配方法: 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式； ④用直接开平方法解变形后的方程。 注意：当时，方程无解 【成长例题】 例题1-1用直接开平方法解下列方程： （1）（2020·一中·月考）4x2﹣25＝0； x1＝，x2＝﹣； （2）（2021·育才·期中）（2x﹣1）2＝9 x1＝﹣1，x2＝2； （3）（2021·五中·期中）2（x﹣3）2﹣72＝0 x1＝﹣3，x2＝9； （4）（2021·五中·期中） （x﹣3）2＝（2x+1）2 x1＝，x2＝﹣4 （5）（2020·五中·月考）4（2x﹣1）2=9（3﹣x）2；x1＝-0.5，x2＝1． 例题1-2若关于x的方程（x﹣a）2+b＝0有实数解，则b的取值范围是　b≤0　． 例题2-1（2020·十七中·第一次月考） 用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　C　） A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9 例题2-2 用配方法解方程 （1） x2+4x-7＝0 （2） （2）x（x﹣4）=2﹣8x x1＝﹣2+，x2＝﹣2-； （3） （3）（x+1）2＝4x x1＝x2＝1． 例题2-3用配方法解方程 （1）2x2-2x﹣1＝0 （2） 2x2+5x＝3 （3）3x（2x+1）＝4x+2 x1＝﹣，x2＝； 例题3代数式x2+4x+6的最小值为　2 ，代数式-2x2-4x+5的最大值为　7 【过关练习】 练习1用直接开平方法解一元二次方程 学科网（北京）股份有限公司 （1）2y2＝8．（2）2（x+3）2﹣4＝0．（3）（x+1）2＝25（4）（2x+1）2＝（x﹣1） 【解答】解：（1）y1＝2，y2＝﹣2．（2）x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣； （3）x1＝﹣11，x2＝9．（4）x1＝0，x2＝﹣2． 练习2解下列方程： （1）x2+10x+25＝0（2）x2﹣x﹣1＝0．（3）2x2﹣6x﹣4＝0（4）2x2﹣5x+1＝0 【解答】 （1）x1＝x2＝﹣5；（2）x1＝，x2＝； 练习3 将2x2﹣12x﹣12＝0变形为（x﹣m）2＝n的形式，则m+n＝　18　． 练习4若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝　8　 练习5代数式x2+6x+6的最小值为　-3 ，代数式-2x2-6x+1的最大值为　11/2 练习6已知关于x的二次三项式x2+（k+1）x+k2﹣2k+1是完全平方式，求k的值． 【解答】解： Δ＝0， 整理得3k2﹣10k+3＝0，解得k＝3或． 练习7证明：关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+3ax+1＝0无论a为何值，该方程都是一元二次方程． 【解答】证明：∵a2﹣8a+20＝（a﹣4）2+4≥4， ∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0， ∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程． 练习8某生物实验室需培育一群有益菌，现有90个活体样本，经过两轮培植后，总和达36000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌． （1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ （2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？ 【解答】解：（1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌， 依题意，得：90x2＝36000， 解得：x1＝20，x2＝﹣20（不合题意，舍去）． 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出20个有益菌． （2）36000×20＝720000（个）． 答：按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有720000个有益菌． 关卡2-2 公式法与判别式★★★★☆☆ 【过关笔记】 试利用配方法解方程：ax2+bx+c=o(a≠0) 1.用过配方法解方程ax2+bx+c=o(a≠0)，我们发现：当b2-4ac≥0时，方程才有实数根。所以，我们把式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=o(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即Δ=b2-4ac. 2.一元二次方程的根的个数情况判断：（高频考点！） Δ＞0