专题1.1 二次根式（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1 二次根式（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 特别提醒：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 特别提醒： （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 特别提醒：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别提醒：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 【知识点二】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 特别提醒： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别提醒： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 【考点目录】 【考点1】二次根式及相关概念； 【考点2】二次根式的性质； 【考点3】二次根式的大小比较； 【考点4】二次根式运算与求值； 【考点5】二次根式的应用. 【考点一】二次根式及相关概念； （1）二次根式有意义的条件 【例1】（2023上·山东济南·八年级统考阶段练习）（1）若有意义，则满足条件____． （2）若，求的值． 【答案】（1）（2）6 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列式求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得，解得，进而确定的值，然后代入求值即可． 解：（1）若有意义， 则有， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴，解得， ∴可有，解得， ∴． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识，理解并掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 【变式1】（2024上·河南周口·九年级校联考期末）已知，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D．a为一切实数 【答案】C 【分析】根据二次根式成立的条件，列不等式组，解不等式组即可求解． 解：， 解得， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 【变式2】（2023·广东潮州·统考三模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件可直接进行求解． 解：由题意得： 且， ∴且； 故答案为且． 【点拨】本题主要考查分式与二次根式有意义的条件及函数的概念，熟练掌握分式与二次根式有意义的条件及函数的概念是解题的关键． （2）最简二次根式与同类二次根式 【例2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答： 例：已知，求的值． 解：由，解得：，∴．∴． 请继续完成下列两个问题： （1）若x、y为实数，且，化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）1;（2）3. 试题分析：（2）根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y的取值范围，然后化简即可； （3）根据非负数的性质列出方程组，然后求出x、y，再代入代数式进行计算即可得解． 解：（1）由，解得：x＝3，∴y＞2．∴； （2）由：，解得：x＝1．y＝﹣2．∴． 【变式1】（2023下·广东东莞·八年级校联考期中）下列根式中，最简二次根式是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：选项A， ，不是最简二次根式；选项B，被开方数中不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；选项C， ，不是最简二次根式；选项D， ，不是最简二次根式；故选B． 【变式2】（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则