专题02 实数及其运算（知识串讲+9大考点）-2023-2024学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题02 实数及其运算 考点类型 知识一遍过 （一）实数概念及分类 （1）实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 正实数 实数 0 负实数 整数包括正整数、零、负整数。 零和正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 （2）无理数归类 ①开方开不尽的数，如等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等； （二）实数的大小比较 （1）实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的 （2）实数大小的比较常用方法： ①数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 ②求差比较：设a、b是实数， ③求商比较法：设a、b是两正实数， ④绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 ⑥平方法：设a、b是两负实数，则。 （三）实数的运算 （1）运算定律 ①加法交换律 ②加法结合律 ③乘法交换律 ④乘法结合律 ⑤乘法分配律 （2）实数混合运算运算顺序： 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 （四）实数非负性考查 （1）在实数范围内，正数和零统称为非负数。 （2）非负数有三种形式  ①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 （3）非负数具有以下性质 ①非负数有最小值零； ②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 考点一遍过 考点1：实数的分类 典例1：（2023秋·福建泉州·八年级校联考阶段练习）下列说法正确的是（     ） A．是分数 B．是无理数 C．是有理数 D．是有理数 【变式1】（2022秋·浙江·七年级期中）实数中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2023春·安徽宣城·七年级校联考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．正实数包括正有理数和正无理数 【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）    A．； B．； C．； D．； 考点2：实数的性质 典例2：（2022·八年级单元测试）已知如图①，图②中所写结论正确的个数是（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（2023秋·山东济南·八年级统考阶段练习）下列说法： ①一个无理数的相反数一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数； ③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算； ④实数的倒数是． 其中，正确的说法有（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【变式2】（2022秋·江苏常州·七年级校考期中）下列说法中，错误的有（    ） ①符号相反的数与为相反数； ②当时，； ③如果，那么； ④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远； ⑤数轴上的点不都表示有理数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】（2023·浙江·七年级假期作业）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 考点3：实数与数轴 典例3：（2023秋·湖南衡阳·八年级校考期中）如图，在数轴上表示实数 的点可能是（        ） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 【