6.2平面向量的加减、数乘运算（九大考点）-2023-2024学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

6.2平面向量的加减、数乘运算 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法及减法运算,理解其几何意义； 2.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义； 3.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量的数乘运算进行向量运算； 4.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练处理有关共线向量的问题. 一、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 二、相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 三、向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 四、向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 五、共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 考点01三角形法则及平行四边形法则 1．如图所示，试分别作出向量． 2．作出以下图形 (1)如图1，已知向量 不共线，作向量. (2)如图2，已知向量，求作向量. 3．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量： (1)； (2) (3)． 4．如图，已知，求作. (1)； (2) 5．作图验证：． 考点02向量的加减法运算 6．如图，、、、是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：①，②，③．其中正确的有（    ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是（    ） A．[3,17] B．(3,17) C．(3,10) D．[3,10] 9．已知，，，为平面上的四个点，则 . 10．设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ；②；③中成立的序号为 ． 11．下列等式：，，，，，，中正确的个数是 . 12．如图，在▱ABCD中， (1)当，满足什么条件时，与所在的直线互相垂直？ (2)与有可能为相等向量吗？为什么？ 考点03向量的数乘运算及其几何意义 13．已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 14．在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 15．“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 16．点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（    ） A．若，则四边形ABCD为平行四边形 B．若，则四边形ABCD为梯形 C．若，且，则四边形ABCD为菱形 D．若，且，则四边形ABCD为正方形 18．已知 是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（　　） ①；②；③ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 考点04向量的混合运算 19．已知向量，那么等于（    ） A． B． C． D． 20．设是两两不共线的向量，且向量，，则（   ） A． B． C． D． 21．若，为已知向量，且，则 . 22．化简： (1) (2)   23．已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）． 24．求下列未知向量． (1)； (2)． 考点05用已知向量表示相关向量 25．在中，为边上的中线，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 26．在中，，则（