1.3.2 等比数列的前n项和（第2课时 等比数列前n项和性质）（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

1.3.2 等比数列的前n项和（第二课时）-前n项和性质 等差数列 等比数列 定义 通项 公式 性质 前项和Sn 等比数列前n项和公式: 或 温故知新 新知探究 思考1：等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)有什么样的函数特征？ ①当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. ②当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. qn的系数与常数项互为相反数. 性质一： 类似结论： 例题解析 例1、若等比数列 中， 则 实数m= -1 练习：1、已知等比数列 的前n项和为 则x的值为 2、已知等比数列 的前n项和为 则a的值为 3、已知等比数列 的前n项和为 则a的值为 练习： 拓展提升 例2.记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ.(1)当λ＝3时，求{an}的通项公式；(2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由． 等比数列判定方法： （1）定义法： （2）递推公式法： （3）看通项法： （4）看前n项和法：     性质二:对于一般的等比数列 ，其前n 项 也成等比数列 的和为 ，则 公比为qm 例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 2、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ ） D A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X) 260 变式 63. 等比数列前n项和的性质三： 等比数列前n项和的性质四： 推导过程: 例4:已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 变式：已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？ 提示： 课堂练习 答案：B 2．等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28 B．32 C．35 D．49 解析：∵S2，S4－S2，S6－S4成等比数列 ∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4) ∴(S4－7)2＝7(91－S4) ∴S4＝28. 选A. 答案：A 3．在等比数列中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 4．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________. 答案：32 解： 两式联立解得： 6：在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=　　　　.  解：∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1, ∴S2,S4﹣S2,S6﹣S4也构成等比数列, 即7,S4-7,91-S4构成等比数列, ∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21. 又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2 =(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28. 小结： 等差数列前n项和的性质： ① ② ③ ④ 解：(1)当λ＝3时，Sn＝2n＋3， ①当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n－1－3＝2n－1. ②当n＝1时a1＝S1＝5，不符合上式 ∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2.)) (2)由Sn＝2n＋λ，得①当n＝1时a1＝S1＝2＋λ； ②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1. 若存在常数λ，使得{an}为等比数列， 则2＋λ＝20＝1，得λ＝－1. 故存在实数λ＝－1，使得{an}为等比数列． 例3．若{an}是等比数列，已知对任意n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＋aeq \o\al(2,3)＋…＋aeq \o\al(2,n)＝(　　) A. (2n－1)2 B. eq \f(1,3)(2n－1)2 C. 4n－1 D. eq \f(1,3)(4n－1) D [解析]　由Sn＝2n－1得a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝22－2＝2. ∴公比为q＝2，可知数列{aeq \o\al(2,n)}是等比数列，公比为q2＝4. ∴aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＋aeq \o\al(2,3