第三章图形的平移与旋转专题训练八旋转中常见的三种几何模型作业　课件　　2023—2024学年北师大版数学八年级下册

第三章　图形的平移与旋转 专题训练(八)　旋转中常见的三种几何模型 模型一　“手拉手”模型 模型特点 共顶点：点A；等线段：AB＝AC，AD＝AE；等角度：∠BAC＝∠DAE 模型 展示 △ABC和△ADE为顶角相等的等腰三角形 △ABC和△ADE均为等边三角形 △ABC和△ADE均为等腰直角三角形 解题思路 证明三角形全等的关键：(1)AB＝AC，AD＝AE；(2)∠BAC＝∠DAE⇒∠BAC±∠CAD＝∠DAE±∠CAD⇒∠BAD＝∠CAE 基本结论 △ABD≌△ACE⇒BD＝CE 模型二　“半角”模型 模型特点 等边三角形含半角 等腰直角三角形含半角 BD＝CD，∠BDC＝120°，∠EDF＝60° AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45° 模型展示 解题 思路 将△BDE绕点D顺时针旋转120°得△CDG 将△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACF 基本 结论 △DEF≌△DGF ⇒EF＝BE＋CF △ADE≌△AFE⇒∠ECF＝90°⇒DE2＝BD2＋CE2 模型三　“对角互补”模型 模型特点 含90°角的对角互补 含120°角的对角互补 ∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC ∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，BD平分∠ABC 模型展示 解题 思路 分别过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F 基本 结论 △ADE≌△CDF⇒AD＝CD，AB＋BC＝2BF＝ BD △ADE≌△CDF⇒AD＝CD，AB＋BC＝2BF＝BD 1.如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，CD，DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数. 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC.∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，∴∠DAE＝60°＝∠BAC，AE＝AD，∴△ADE为等边三角形，∠BAD＋∠EAB＝∠BAD＋∠DAC，∴∠BAE＝∠CAD，∠AED＝60°，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠AEB＝∠ADC＝105°，∴∠BED＝∠AEB－∠AED＝105°－60°＝45° 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，求BD的长． 解：∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴可将△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，∴AB＝AE，BD＝CE，∠BAE＝60°.连接BE，则△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝6，∴∠CBE＝∠ABE＋∠ABC＝60°＋30°＝90°，∴BD＝CE＝ eq \r(BE2＋BC2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10 3．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长． 解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝90°，AC＝AB，∴可将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACE，∴AE＝AD＝4，BD＝CE，∠DAE＝90°.连接DE，则∠ADE＝45°，DE＝ eq \r(AD2＋AE2) ＝4 eq \r(2) ，∴∠CDE＝∠ADE＋∠ADC＝45°＋45°＝90°，∴BD＝CE＝ eq \r(DE2＋CD2) ＝ eq \r(（4\r(2)）2＋32) ＝ eq \r(41) 4.如图，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，求△AMN的周长． 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.又∵△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝ eq \f(1,2) (180°－∠BDC)＝30°，∴∠DBM＝∠DBC＋∠ABC＝90°，∠ACD＝∠DCB＋∠ACB＝90°，可将△BDM绕点D顺时针旋转120°得到△CDE，∴由旋转的性质可得DE＝DM，CE＝BM，∠DCE＝∠DBM＝90°，∠EDC＝∠MDB，∴∠DCN＋∠DCE＝180°，∠EDN＝∠EDC＋∠NDC＝∠MDB＋∠NDC＝∠BDC－∠MDN＝60°＝∠MDN，∴N，C，E三点共线．又∵DE＝DM，DN＝DN，∴△NMD≌△NED(SAS)，∴MN＝EN＝CN＋CE＝CN＋BM，∴△AMN的周长＝AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋CN＋BM＝AB＋AC＝2＋2＝4 5．如图，在某公园的同一水平面上，通道AB，AC，BC，AD，AE构成了等腰直角三角形ABC，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°. (1)试探究通道BD，DE，CE之间的关系；