专题9.2 向量的加减及数乘运算（八个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题9.2向量的加减及数乘运算 知识点1向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 知识点2相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 知识点3向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 知识点4向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 知识点5共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 重难点1向量的加法运算 【例1】如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例2】如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量． (1)   (2)   (3)   【变式1-1】在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是 A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． (1)     (2)   向量加法的三角形法则的作法：①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示); ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 向量加法的平行四边形法则的作法：①把两个已知向量的始点平移到同一点; ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形; ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和 重难点2向量的减法运算 【例3】化简 (1)； (2)． 【例4】如图，已知向量和向量，用三角形法则作出 【变式2-1】如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若图表中小正方形边长为1，求、． 【变式2-2】作出以下图形 (1)如图1，已知向量 不共线，作向量. (2)如图2，已知向量，求作向量. 【变式2-3】如图，在中，向量是哪两个向量的和，哪两个向量的差？    向量减法的三角形法则作图的方法：平移向量使之共起点，连接两向量的终点，方向指向被减向量 重难点3向量的数乘运算 【例5】已知，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．且 D．以上说法都不对 【例6】在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知m，n是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（    ） ①；②； ③若，则；④若，则m＝n. A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 【变式3-2】若，则 ． 【变式3-3】在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（    ） A． B．2 C． D． （1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）当且时,或当且时, ,注意是,而不是. 重难点4向量的混合运算 【例7】（多选）下列式子可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 【例8】若，则＝ . 【变式4-1】已知，，求，与． 【变式4-2】计算： (1)； (2). 【变式4-3】解关于，的方程或方程组： （1）；     （2）. 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用. 重难点5向量共线定理的应用 【例9】已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【例10】（多选）下列命题正确的的有