专题20 正态分布5种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题20 正态分布5种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、正态曲线的图象与性质 考点二、利用正态分布的对称性求概率 考点三、正态分布的实际应用 考点四、标准正态分布应用 考点五、正态分布的综合应用 一、正态曲线及其性质 1、正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3、正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4、正态曲线的特点： （1）非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方． （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为1. （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． （4）最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. （5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． （6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. （7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5、正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． 6、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 1、正态分布下2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 2、正态分布的应用（3σ原则） 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 3、求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果． 考点剖析 考点一、正态曲线的图象与性质 1．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）    A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D． 2．（2022下·浙江温州·高二校联考期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022下·河南南阳·高二统考期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2022·高二课时练习）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 5．（2023·浙江宁波·统考二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 6．（2022上·广东佛山·高三统考阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2018·北京·高三强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 考点二、利用正态分布的对称性求概率 8．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023下·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023上·云南