2024年四川省成都市中考数学二轮复习专题 四点共圆专项训练

2024成都中考数学二轮复习专题 四点共圆专项训练（学生版） 目标层级图 课中讲解 一. 判定定理1 内容讲解 若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆． 如图：，即以为圆心，为半径画圆，此时、、、四点共圆. 例1.已知四边形为菱形，点、、、分别为各边中点，判断、、、四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由． 过关检测 1. 已知：如图1．正方形，过点作，两边分别交直线于点，交线段于点，为中点，连接 （1）求证：； （2）如图2，过点作的垂线交对角线于点，求证：； （3）如图3，连接，若，，求线段的长． ，未经书面同意，不得复制发布 二. 判定定理2 内容讲解 (1)若一个四边形的一组对角的和等于，则这个四边形的四个顶点共圆． 如图：与互补，则、、、四点共圆. （圆的内接四边形对角互补，反过来，则四点共圆） (2)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆． 如图：，则、、、四点共圆. （圆的内接四边形外角等于内对角，反过来，则四点共圆） 例1.设梯形中，，，分别在腰和上，若，，，四点共圆，证明，，，也必四点共圆． 例2.如图所示，两圆交于、两点，过的直线交两圆于、，两圆外有一点，连接，，分别交两圆于，．求证：、、、四点共圆． 过关检测 1.设内接于圆，弦分别交、边于点、，且，求证：、、、四点共圆． 2.如图，在等边中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且始终保持，连接，相交于点．过点作直线，过点作直线，直线，相交于点，连接交于点． （1）求的大小； （2）求证：； （3）在点，的运动过程中，若，求的值． 三. 判定定理3 内容讲解 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆． 如图：与在上方，且，则、、、四点共圆. （圆中同弧所对的圆周角相等，反过来则四点共圆） 例1.如图，四边形内接于，、、分别是、、的中点，连接与的延长线交于，连接与延长线交于，求证：、、、四点共圆． 例2.如图，是以等腰的斜边为直径的圆，点是的延长线上的一点，过点作的一条切线，切点为点，的平分线交、于点、． （1）求证：、、、四点共圆． （2）若，，求的长． 过关检测 1．（1）和是两个等腰直角三角形，如图1，其中，连结、，求证：． （2）和是两个含的直角三角形，其中，，，从边与重合开始绕点逆时针旋转一定角度； ①如图2，与交于点，与交于点，连结，若四边形为平行四边形，求的值； ②若，，连结、，当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． 2．如图，在正方形中，是边上一点，连接，过作于，交于． （1）如图1，连接，当，时，求的长； （2）如图2，对角线，交于点．连接，若，求的长； （3）如图3，对角线，交于点．连接，，若，试探索与的数量关系，并说明理由． 四. 判定定理4 内容讲解 圆幂定理条件和结论反过来，均可判定四点共圆。 （1）若、两线段和交于点，且，则、、、四点共圆． （圆幂定理之相交弦定理，反过来四点共圆） （2）若、两线段延长后相交于点．且，则、、、四点共圆． (圆幂定理之割线定理，反过来四点共圆) 例1.给出锐角，以为直径的圆与边的高及其延长线交于，．以为直径的圆与边的高及其延长线将于，．求证：，，，四点共圆． 过关检测 1．为定的定弦，但不是直径，作的弦，2，使得所有都被弦平分于，过作的切线交于，求证：，，，共圆． 学习任务 1.如图，四边形中，，点为的中点，则，，，四点共圆吗？ 2.如图所示，为的内心，求证：的外心与、、四点共圆． 3．已知：（如图）边长为1的正方形内接于，点为劣弧（不含端点）上任意一点．直线交线段于点，直线交直线于点，直线交线段于点，线段交线段于点． （1）求证：； （2）求证：，，，四点共圆； （3）求证：． 4．已知：是的高，、是、的高，求证：，，，四点共圆． 5.已知，如图所示，在矩形中，点在边上， （1）如图①，已知点在边上，，，求的长； （2）如图②，已知，为的中点，试探究线段，，的数量关系； （3）如图③，点在矩形的边的延长线上，与相交于点，其他条件与（2）保持不变，，，，求的面积． 6.如图①，中，，于点，点在上，且，连结． （1）求证：； （2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接． ①如图②，当点落在上时，不与重合），若，，求的长； ②如图③，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由． 2024成都中考数学二轮复习专题 四点共圆专项训练（解析版） 目标层级图 本节内容 本节内容主要涉及到四点共圆，四点共圆一般在圆这一章节的学习都结束之后进行讲解。四点共圆的判定主要是依据圆这一章学的圆的性质定理，如：圆的定义、