专题08 因式分解的五种压轴题考法全攻略-【B卷常考模型】2023-2024学年四川成都八年级数学下学期题型全攻略（北师大版）

专题08 因式分解的五种压轴题考法全攻略 【例题精讲】 例1．（整体法）如果因式分解的结果为 ． 例2．（添项法）分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______． 例3．（待定系数法）因式分解： 例4．（主元法）分解因式：. 例5．（综合法）因式分解： (1) (2) 例6．（因式分解应用）一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”． 例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“叠加数”为4715； 　　　M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26没有“叠加数”． (1)请判断3420和5846是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由； (2)两位数M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均为整数）有“叠加数”，且12a－M－N能被13整除，求所有满足条件的两位数M的“叠加数”． 【变式训练1】．因式分解： 【变式训练2】．分解因式： 【变式训练3】．因式分解： 【变式训练4】．定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”； 再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　； （2）判断53 　 　（请填写“是”或“否”）为“完美数”； （3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”． 【课后训练】 1．已知：，则的值是 ． 2．计算： ． 3．若实数a、b、c满足，，那么的值是 ． 4．已知，，那么 ， ． 5．分解因式：． 6．材料分析题：对于任意一个四位正整数M，若千位和十位数字和为7，百位与个位数字和也为7，且各数位上的数字均不相同，那么称这个数M为“奇迹”数，例如：，∵，，∴2354是个“奇迹”数：再例如：，∵，但是数位上有相同数字，∴3443不是一个“奇迹”数． (1)请判断1364是否为一个“奇迹”数，并说明理由． (2)证明：任意一个“奇迹”数M都是11的倍数． (3)若M为“奇迹”数，设．且是14的倍数，请求出所有满足题意的四位正整数M． 7．已知三次四项式分解因式后有一个因式是，试求的值及另一个因式． 8．用简便方法计算：． 9．把下列多项式分解因式： （1） （2） （3） （4） 10.分解因式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 因式分解的五种压轴题考法全攻略 【例题精讲】 例1．（整体法）如果因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】把当成一个整体，再因式分解即可． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 例2．（添项法）分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______． 【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2） 【详解】解：x3﹣3x2﹣6x+8= === ==（x﹣4）（x﹣1）（x+2）， 故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）． 例3．（待定系数法）因式分解： 【答案】 【解析】解：当时，原式等于0，故原式含有因子， 又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，， 又因为原式为x，y，z的五次式，故可设 令，，得， 令，，得，解得，， 所以． 例4．（主元法）分解因式：. 【答案】 【详解】解： = ∴原式． 例5．（综合法）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将和分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解； （2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：当时，原式等于0，故原式含有因子， 又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，， 又因为原式为x，y，z的五次式，故可设 令，，得， 令，，得， 解得，， 所以． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键． 例6．（因式分解应用）一个两