6.4.1平面几何中的向量方法、6.4.2向量在物理中的应用举例课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.1 平面几何的向量方法 1 学习目标 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 体会向量在解决数学和实际问题中的应用 2 学习重点：向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲” 学习难点：将实际问题转化为向量问题 3 新课引入 我们前面学习了平面向量的概念和运算，并且通过平面向量的基本定理，把向量的运算转化归于实数的运算.本节我们将学习运用向量解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用. 4 例题 分析 5 证明 解决平面几何涉及的距离（线段长度）和角度的问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题. 6 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，讲平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离，夹角等问题； （3）将运算结果“翻译”成几何关系. 7 分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探究他们的模之间的关系. 8 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 基底的选法不唯一，只要不共线即可 9 可以用自然语言叙述这个关系式的意义吗？ 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 10 例题巩固 11 平行问题方法总结 无论是直线平行还是三点共线的问题，应用向量方法解决，实质上是利用向量共线定理. 12 例题巩固 13 6.4.2 向量在物理中的应用举例 14 例题 分析：不妨以两个人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释. 15 同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 16 探究 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后再通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象 17 分析:如果水是静止的，那么船只要垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用的时间也是最短的，考虑到水的流速，要是航程最短，船的速度与水流的速度的合速度v必须垂直于河岸. 18 用向量法解决物理问题时，正确做出相应的几何图形有助于我们建立数学模型.向量在物理中的应用，如求力的合力与分解，力做的功等，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后用向量运算解决向量问题，最后用得到的结果解释物理现象. 19 例题巩固 20 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化，把物理问题转化为数学问题. (2) 模型的建立，建立以向量为主的数学模型. (3) 参数的获得，求出数学模型的有关解——理论参数值. (4) 问题的答案，回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 21 数学中两类物理背景 （1）力 力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，是数学中的向量，可用向量求和的平行四边形法则求两个力的合力. (2)速度 速度是具有大小和方向的量，因而可用向量求和的平行四边形法则求两个速度的合力. 22 课堂巩固 D 23 D 24 A 25 C 26 等腰三角形 27 28 29 总结 向量在几何中的应用——可以证明向量平行，垂直和求线段长度等相关问题. 向量在物理中的应用——可以物理中的速度和力等有关的问题. 30 THANK YOU 31 我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.如果用向量方法证明这个结论，可以取 为基底，用 表示 ，证明 即可. 例1： 是 的中位线，用向量的方法证明： ， . 如图，因为DE是 的中位线，所以 ， . 从而 ，又 ， 所以 于是 ， 例2：如图，已知平行四边形ABCD，你能观察发现和猜想出AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗? 如图，取 为基底，设 ， ，则 ， . 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： . 上面两式相加，得 . 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： . 向量在平面几何中主要的应用： 证明线段平行问题，常用向量平行（共线）的等价条件： 证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等， 常用向量垂直的等价条件： 答案：证明： , . 设 ,则 。 同理 . 于是 ,即 . 如图6-4-2,已知 是 的三条高,且交于点 ,垂足为 ,垂足为 .求证： 。 (1)几何图形中要证明线段 ，只需要证明存在实数 ，使得 或 ，其中 （2）几何图形中要证明 三点共线，只需要证明存在实数 ，使得 或者存在实数 ，使得 . 如图6-4-3,在正方形 中, 分别是 的中点,求证：