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高考倒计时 第10天 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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eq \a\vs4\al(知识结论)
1.三点共线的判定
(1)A,B,C三点共线⇔ eq \o(AB,\s\up15(→)) , eq \o(AC,\s\up15(→)) 共线;
(2)向量 eq \o(PA,\s\up15(→)) , eq \o(PB,\s\up15(→)) , eq \o(PC,\s\up15(→)) 中三终点A,B,C共线⇔存在实数α,β使得 eq \o(PA,\s\up15(→)) =α eq \o(PB,\s\up15(→)) +β eq \o(PC,\s\up15(→)) ,且α+β=1.
2.中点坐标和三角形的重心坐标
(1)P1,P2的坐标为(x1,y1),(x2,y2), eq \o(MP,\s\up15(→)) = eq \f(MP1+MP2,2) ⇔P为P1P2的中点,中点P的坐标为( eq \f(x1+x2,2) , eq \f(y1+y2,2) ).
(2)三角形的重心坐标公式:△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心坐标是( eq \f(x1+x2+x3,3) , eq \f(y1+y2+y3,3) ).
3.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心⇔| eq \o(OA,\s\up15(→)) |=| eq \o(OB,\s\up15(→)) |=| eq \o(OC,\s\up15(→)) |= eq \f(a,2sin A) .
(2)O为△ABC的重心⇔ eq \o(OA,\s\up15(→)) + eq \o(OB,\s\up15(→)) + eq \o(OC,\s\up15(→)) =0.
(3)O为△ABC的垂心⇔ eq \o(OA,\s\up15(→)) · eq \o(OB,\s\up15(→)) = eq \o(OB,\s\up15(→)) · eq \o(OC,\s\up15(→)) = eq \o(OC,\s\up15(→)) · eq \o(OA,\s\up15(→)) .
(4)O为△ABC的内心⇔a eq \o(OA,\s\up15(→)) +b eq \o(OB,\s\up15(→)) +c eq \o(OC,\s\up15(→)) =0.
4.复数的几个常见结论
(1)(1±i)2=±2i;
(2) eq \f(1+i,1-i) =i, eq \f(1-i,1+i) =-i;
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈Z);
(4)若ω=- eq \f(1,2) ± eq \f(\r(3),2) i,则ω0=1,ω2= eq \