微点培优4 洛必达法则（课件PPT）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

中篇　重点专题　专项提能 板块二　高考拉分专题 微点培优4　≡洛必达法则≡ 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 返回导航 第2轮 数学 （文科） 中篇　重点专题　专项提能 谢谢观看！ 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1) eq \o(lim,\s\do15(x→a)) f(x)＝ eq \o(lim,\s\do15(x→a)) g(x)＝0(或±∞)；(2)在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3) eq \o(lim,\s\do15(x→a)) eq \f(f′（x）,g′（x）) ＝A(A可为实数，A也可以是±∞)，则 eq \o(lim,\s\do15(x→a)) eq \f(f（x）,g（x）) ＝ eq \o(lim,\s\do15(x→a)) eq \f(f′（x）,g′（x）) ＝A(可连续使用). 已知函数f(x)＝ eq \f(a ln x,x＋1) ＋ eq \f(b,x) ，曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)如果当x>0且x≠1时，f(x)> eq \f(ln x,x－1) ＋ eq \f(k,x) ，求k的取值范围． 解：(1)由题意知f′(x)＝ eq \f(a（\f(x＋1,x)－ln x）,（x＋1）2) － eq \f(b,x2) (x＞0). 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－ eq \f(1,2) ，且过点(1，1)， 故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝1，,f′（1）＝－\f(1,2)，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.)) (2)利用洛必达法则求解． 由题设可得，当x＞0，x≠1时，k＜ eq \f(2x ln x,1－x2) ＋1恒成立． 令g(x)＝ eq \f(2x ln x,1－x2) ＋1(x＞0，x≠1)， 则g′(x)＝2· eq \f(（x2＋1）ln x－x2＋1,（1－x2）2) ， 再令m(x)＝(x2＋1)ln x－x2＋1(x＞0)， 则m′(x)＝2x ln x＋ eq \f(1,x) －x， 令h(x)＝2x ln x＋ eq \f(1,x) －x(x＞0)， 又h′(x)＝2ln x＋1－ eq \f(1,x2) ， 易知h′(x)＝2ln x＋1－ eq \f(1,x2) 在(0，＋∞)上为增函数，且h′(1)＝0， 故当x∈(0，1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0， 所以h(x)在(0，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增，故h(x)＞h(1)＝0，即m′(x)＞m′(1)＝0， 所以m(x)在(0，＋∞)上为增函数，又m(1)＝0， 所以当x∈(0，1)时，m(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，m(x)＞0， 所以当x∈(0，1)时，g′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0， 所以g(x)在(0，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增． 由洛必达法则知， eq \o(lim,\s\do15(x→1)) g(x)＝2 eq \o(lim,\s\do15(x→1)) eq \f(x ln x,1－x2) ＋1＝2 eq \o(lim,\s\do15(x→1)) eq \f(1＋ln x,－2x) ＋1＝2×(－ eq \f(1,2) )＋1＝0， 所以k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]. 对函数不等式的恒成立问题求参数取值范围时，通常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论. 如本题若直接讨论函数的性质，相当繁琐，很难求解，而采用变量分离法较易求解，但是分离出来的函数式的最值无法求解，但是利用洛必达法则能较好地求出最值，这是一种值得借鉴的方法． 已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围． 解：当x∈(1，＋∞)时