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中篇 重点专题 专项提能
板块二 高考拉分专题
微点培优5 ≡极值点偏移问题≡
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谢谢观看!
1.已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0,若f(x)=c的两根的中点刚好满足 eq \f(x1+x2,2) =x0,即极值点在两根的正中间,也就是说极值点没有偏移,此时函数f(x)在x=x0两侧,函数值变化快慢相同,如图①所示.
图①
(无偏移,左右对称,二次函数)
若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0.
2.若 eq \f(x1+x2,2) ≠x0,则极值点偏移,此时函数f(x)在x=x0两侧,函数值变化快慢不同,如图②③所示.
图②
(左陡右缓,极值点向左偏移)
若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2x0.
图③
(左缓右陡,极值点向右偏移)
若f(x1)=f(x2),则x1+x2<2x0.
考向一
对称变换
(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x(1-ln x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a,b为两个不相等的正数,且b ln a-a ln b=a-b,证明:2< eq \f(1,a) + eq \f(1,b) <e.
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由题意,得f′(x)=1-ln x+x·(- eq \f(1,x) )=-ln x,
令f′(x)=0得x=1,
所以当x∈(0,1)时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减.
(2)证明:由b ln a-a ln b=a-b,
得 eq \f(ln a,a) + eq \f(1,a) = eq \f(ln b,b) + eq \f(1,b) , eq \f(1,a) (1-ln eq \f(1,a) )= eq \f(1,b) (1-ln eq \f(1,b) ),
即f( eq \f(1,a) )=f( eq \f(1,b) ).
设b>a>0,由(1)知0<a<1,b>1,
所以 eq \f(1,a) >1,0< eq \f(1,b) <1,2- eq \f