专题七 第四讲 3 利用导数研究函数零点(课件PPT)-【优化指导】2024年高考数学(文科)二轮复习高中总复习·第2轮(老教材)

2024-03-07
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中篇 重点专题 专项提能 板块二 高考拉分专题 专题七 函数与导数 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 专题检测(二十二) 返回导航 第2轮 数学 (文科) 中篇 重点专题 专项提能 谢谢观看! 第四讲 导数的综合应用(大题) 第3课时 利用导数研究函数零点 考点一 判断(证明)函数零点的个数 (2022·广东韶关一模)已知函数f(x)=logax- eq \f(x-1,x+1) , a>0且a≠1. (1)若a=e,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的零点个数. 解:(1)若a=e,则f(x)=ln x- eq \f(x-1,x+1) ,f(1)=0, 又f′(x)= eq \f(1,x) - eq \f(2,(x+1)2) ,所以f′(1)= eq \f(1,2) , 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y-1=0. (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞), 又f(x)=logax- eq \f(x-1,x+1) = eq \f(ln x,ln a) - eq \f(x-1,x+1) , 所以函数f(x)的零点个数, 即方程ln x-(ln a) eq \f(x-1,x+1) =0的解的个数, 记h(x)=ln x-(ln a) eq \f(x-1,x+1) (x>0), 显然x=1是函数h(x)的零点, h′(x)= eq \f(1,x) - eq \f(2ln a,(x+1)2) = eq \f(x2+(2-2ln a)x+1,x(x+1)2) , 记g(x)=x2+(2-2ln a)x+1, Δ=(2-2ln a)2-4=4ln a(ln a-2), 若Δ≤0,则0<ln a≤2, 即1<a≤e2,g(x)>0,所以h′(x)>0, 所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有唯一零点1; 若0<a<1,此时ln a<0,则g(x)>0,h′(x)>0, 所以h(x)单调递增,所以函数h(x)在(0,+∞)有唯一零点1; 若a>e2时,由于h(x)+h( eq \f(1,x) )=ln x-(ln a) eq \f(x-1,x+1) +ln eq \f(1,x) -(ln a) eq \f(\f(1,x)-1,\f(1,x)+1) =0, 所以函数h(x)在(0, 1)的零点个数与在(1,+∞)零点个数相同, 当x∈(0,1)时,g(0)=1>0,g(1)=4-2ln a<0, 所以∃x0∈(0,1),使得g(x0)=0, 当x∈(0, x0)时,g(x)>0,h′(x)>0, 所以函数h(x)在(0, x0)上单调递增, 当x∈(x0, 1)时,g(x)<0,h′(x)<0, 所以函数h(x)在(x0, 1)上单调递减. 所以h(x0)>h(1)=0, 又h( eq \f(1,a) )=-ln a-(ln a) eq \f(\f(1,a)-1,\f(1,a)+1) =-ln a· eq \f(2,a+1) <0, 所以函数h(x)在(0, x0)有1个零点,在(x0, 1)没有零点, 所以函数h(x)在(0, 1)和(1,

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