6.4.1平面几何中的向量方法-2023-2024学年高一数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019必修第二册)

6.4.1平面几何中的向量方法 考点01：用向量证明线段垂直 1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 2．在四边形中，，则四边形的形状是 . 3．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 考点02：用向量解决夹角问题 4．中,设,若,则的形状是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围 . 6．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 考点03：用向量解决线段的长度问题 7．若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 8．已知向量，向量，则的形状为(    ) A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 9．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 考点04：向量与几何最值 10．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 11．已知是内的一点，且，若和 的面积分别为，则的最小值是 A． B． C． D． 12．正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点（与四点不重合），且，则的取值范围为 . 考点05：向量在几何中的其他应用 13．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 14．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 15．在中，，，，则的周长为 . 考点06：解析法在向量中的应用 16．已知四边形为矩形，，动点满足，若，则的最大值为 17．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则 . 18．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.1平面几何中的向量方法 考点01：用向量证明线段垂直 1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【答案】C 【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 2．在四边形中，，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行. 【详解】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形， 故答案为：矩形 3．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【详解】（1）. （2）， ，. 考点02：用向量解决夹角问题 4．中,设,若,则的形状是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【解析】有题意可得，从而可判断出，得为钝角，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴角为钝角， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根据向量的数量积判断角的大小，进而判断三角形的形状，属于基础题． 5．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围 . 【答案】且 【分析】根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】由于与夹角为钝角，所以， 解得且. 所以的取值范围是且. 故答案为：且 6．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由