第６章　一次函数　讲义　2023—2024学年苏科版数学八年级上册

数学 核心素养培养与个性发展研究 年 级 初二 日 期 时 间 管理师 辅导教师 常老师 课 时 教学内容 一次函数 【知识点梳理】 知识点一：变量和函数 1)常量与变量:在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量 2)自变量与因变量:一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量 注:自变量的取值范围的确定方法： (1) 当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数;(2)当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数;(3) 当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数; (4)当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零; (5)当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义 3)函数的概念:一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注:判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点: (1) 有两个变量; (2)一个变量的变化随另一个变量的变化而变化; (3)自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 4)函数值:y是x的函数，如果当x=a时y =b，那么b叫做当自变量为a时的函数值 注:对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个。比如: y=x2中，当函数值为4时，自变量的值为±2 知识点二：函数的图象 1.函数的三种表示方法 1.列表法:自变量与应变量的值可直接读取；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 2.解析法:能完整反映变化过程；全面、准确，但较抽象。 3图象法:只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 2.函数的图象 由函数解析式画出图象的一般步骤:列表、描点、连线。 知识点三：一次函数与正比例函数 概念： 1)一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，其中是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx (k为常数，k≠0)叫正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2)函数图象经过点的含义:函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3)两个函数图象的交点坐标:就是两个解析式组成的方程组的解。 图象与性质： 1)一次函数图象是一条直线 2) 已知两点可以作图，也可求出解析式 3)交y轴于点 (0，b)，交x轴于点(-b/k,0) 4)过象限，增减性： 5)函数图象大小比较:观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值,比较函数值的大小就是比较同一个的对应点的纵坐标的大小,也就是函数图象上的点的位置的高低。 一次函数的平移与位置关系： 1)一次函数y=k1x+b1与y= k2x+b2的位置关系: 两直线平行<=>k1=k2,且b1 ≠b2 两直线垂直 k1·k2=-1 2)一次函数的平移法则:左加右减，上加下减。 知识点四：一次函数的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程(组)、不等式(组) 及图象求解. 注:要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 知识点五：一元一次方程(二元一次方程组) 与一次函数的关系 1)一元一次方程可转化为一般式: ax+b=0 2)一次函数为: kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 3)每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.。 4)两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是:在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5)当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行；反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解。 6)当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立。 知识点六：一次不等式与一次函数的关系 1)一次不等式可转化为一般式: kx+b>0(或kx+b<0) 2)从函数的角度看，就