2023-2024学年北师大版八年级数学寒假专题拔高作业 第11节 几何综合

第11讲 几何综合（学生版） 目标层级图 课前检测 1．在四边形中，对角线平分． （1）如图①，当，时，求证：． （2）如图②，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． （3）如图③，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 课中讲解 一.中点问题 例1．已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）与的大小关系如何？试证明你的结论． 过关检测 1．如图所示，在中，，． （1）点在边上，，垂足为，，垂足为，求证：． （2）如图2，点在边上，点关于直线的对称点恰落在边上，，垂足为，求的值． 例2．已知中， （1）如图1，点为的中点，连并延长到点，使得，直接写出和的关系； （2）如图2，若，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连，若，求证：； （3）如图3，点在内部，且满足，，点在的延长线上，连交的延长线于点，若点为的中点，求证：． 过关检测 1．如图3，已知和都为等腰直角三角形，，。是的中点，连接并延长至点，．求证：． 二.对角互补模型 例3．如图，，平分．将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点． （1）如图1，当与边垂直时，证明：； （2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论：　　（填，，， （3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点．在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由． 例4．四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积． 过关检测 1．【感知】如图①，，平分．于点，于点，可知．（不要求证明） 【拓展】在图①中，作，，分别交射线，于，两点，求证：． 【应用】如图②，与均为直角三角形，平分，，两点在的异侧．已知，，，求线段的长． 2．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是　　． 例5．如图，，平分，，与射线相交于点，与直线相交于点．把绕着点旋转． （1）如图1，当点在射线上时，求证：； （2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是 　　 （直接写出结论，不必证明） 过关检测 1．如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交与点，与交于点． （1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系． （2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 例6．如图，在中，，点是的中点，、分别是、上的点，且和互补． （1）当，如图1，线段、、之间的数量关系是　　 ； （2）当，如图 2 ，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，设线段交直线于点，求的长． 过关检测 1．在中，，，，，分别交直线、于点、． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，问线段、、之间有何数量关系，并证明； （3）如图3，当时，旋转，问线段之间、、有何数量关系？并证明． 例7．如图所示，，平分，点是射线上的一个定点，点在直线上运动，连接，将的两边射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． （1）如图1所示，当点在射线上时， ①请判断线段与的数量关系，直接写出结论； ②请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并证明； （2）如图2所示，当点在射线的反向延长线上时，交射线于点，若，，请直接写出线段的长． 三.手拉手模型 例8．（青羊区校级期末）在等腰与等腰中，，，，且点、、三点在同一条直线上，连接． （1）如图1，求证： （2）如图2，当时，试猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，当时，请直接写出线段，，之间的数量关系式为：　　 （不写证明过程） 例9．【问题背景】如图1，是正三角形外一点，，则．小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请帮助小明完成他的作图； 【迁移应用】如图2，在等腰中，，，点在外部，使得，若，求； 【拓展创新】如图3，在四边形中，，点在四边形内部，且，，，，，直接写出的长． 过关检测 1．如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接． （1）如图1，若 ①求证：； ②求的度数． （2）如图2，若，为中边上的高，为中 边上的高，试证明：． 2．（1）方法探索 如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把绕着点顺时针旋转得到△，连接，分别证明△和△是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的