专题17 二项式定理9种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题17 二项式定理9种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、二项式定理的正用和逆用 考点二、二项展开式中的特定项 考点三、三项展开式中的特定项 考点四、两个多项式积的特定项 考点五、二项展开式的系数和问题 考点六、二项式系数与项的系数最值 考点七、整除和求余问题 考点八、近似计算问题 考点九、杨辉三角问题 1．二项式定理： ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的齐次多项式 ④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的 系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令 令 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和 ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 1、求二项展开式中的项的方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n). 2、几个多项式和展开式中的特定项系数问题 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可． 3、求形如的式子中与特定项相关的量 第一步：分别写出与的二项展开式的通项； 第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）； 第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。 注：几个多项式积展开式中特定项系数问题 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 4、(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法 5、赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如： (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可． (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 6、二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大． 7、二项式系数的最值与项的系数的最值问题 （1）二项式系数的最值问题 如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项， 它们的二项式系数和相等且最大； （2）项的系数的最值问题 求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可 8、应用二项式定理解决整除问题的方法 用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。 【注意】在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。 考点剖析 考点一、二项式定理的正用和逆用 1．（2023·全国·高二课堂例题）写出的展开式． 2．（2024·浙江温州·统考一模） . 3．（2023上·高二课时练习）（1）求的展开式； （2）化简． 4．（2023上·高二课时练习）已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 考点二、二项展开式中的特定项 5．（2024·陕西宝鸡·统考一模）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 6．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）的展开式中常数项为第（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 8．（2020上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）在二项式的展开式中的指数