专题14 导数的几何意义（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题14 导数的几何意义 知识点一 在某点的切线方程 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 例1．（1）、（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． （2）、（2023上·云南昆明·高三统考期中）曲线在点处的切线方程是 1．（2024上·甘肃武威·高三统考期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·山东滨州·高三统考期末）曲线在点处的切线方程为 ． 例2．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 1．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 知识点二 过某点的切线方程 从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点： （1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数. （2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子在处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可. （3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：在处不可导. 例3．（1）、（2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 （2）、（2024·全国·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线也相切，则（    ） A． B． C．1 D．2 （3）、（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知，直线与曲线相切，则 ． （4）、（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在曲线上存在点，使得过点可以作三条直线与曲线相切，则点横坐标的取值范围为 ． 1．（2022·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测）已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2021下·广东·高三统考强基计划）设抛物线与相切，则 ． 4．（2021下·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 . 例4．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明． 例5．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知函数，． (1)若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值； (2)若恒成立，求a的取值范围． 例6．（2023下·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期中）已知函数． (1)若曲线在点处切线与直线平行，求a的值； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 例7．（2023下·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 导数的几何意义 知识点一 在某点的切线方程 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 例1．（1）、（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以， 所以． 故选：A. （2）、（2023上·云南昆明·高三统考期中）曲线在点处的切线方程是 【答案】 【分析】求导，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程． 【详解】由可得，所以， 所以由点斜式可得切线方程为，即， 故答案为： 1．（2024上·甘肃武威·高三统考期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，结合导数的几何意义，即可求解