第287章 锐角三角函数——锐角三角函数值的七种常用方法 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级下册

锐角三角函数函数值的七种常用方法 锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解.在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值、余弦值还是正切值，然后要弄清是求哪两条边的比. 方法1定义法 1、[2023·成都]如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE。 (1)求证：AC=BC；(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的长。 方法2 特殊角法 2、[2022·枣庄]北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念。如图，它的主体形状呈正六边形，若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE= 。 方法3 同角或互余角法 3、[2023·成都实验外国语学校摸拟]已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）。 A. B. C. D. 4、（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A=1； （2）已知∠A是锐角，且sinAcosA=，求∠A的度数。 方法4 设参数法 5、如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值。 方法5等角替换法 6、[2023·张家界]如图，⊙0是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，点F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD。 (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AD=10，cosB=，求FD的长。 7、[2023·随州]如图，AB是⊙0的直径，点E，C在⊙0上，点C是弧BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为点D，AB的延长线交直线DC于点F， (1)求证：DC是⊙O的切线； (2)若AE=2，sin∠AFD=，①求⊙0的半径；②求线段DE的长。 方法6折叠法 8、(母题：教材P85复习题T11)如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值。 方法7网格构造直角法 9、[新考法读类比法]问题呈现 如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN与EC相交于点P，求tan∠CPN的值。 方法归纳 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形。观察发现，问题中∠CPV不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中。 问题解决 (1)直接写出图①中tan∠CPN的值为 ； (2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPV的值； 思维拓展 (3)如图③，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $$