广东省广州市中山大学附属中学2024届高三上学期第一次调研数学试卷

广州市中大附中2024届高三上学期第一次调研 数学学科试卷 本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 考生注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D．1 4．函数是（    ） A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为 C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为 5．已知为数列的前项和，若且，设，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t，（单位：天）的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（    ） A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 7．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 8．椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 10．已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（    ） A．剩下的8个样本数据与样本数据的中位数不变 B． C．剩下8个数据的下四分位数大于与原样本数据的下四分位数 D． 11．已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），则下列结论正确的有（    ） A．抛物线C的方程为 B．线段AB的长度为8 C．以AF为直径的圆和抛物线的准线相切 D． 12．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ． 14．在数列中，，则 ． 15．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为 . 16．正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题10分）已知为锐角三角形，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 18．（本题12分）已知数列，满足，且. （1）令，求数列的通项公式； （2）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和. 19．（本题12分）如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在平面，为的重心. (1)求证：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 20．（本题12分）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表： 运动鞋款式 A B C D E 回访顾客（人数） 700 350 300 250 400 满意度 注： 1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率． (1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率； (2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满