圆锥曲线 专题四 圆锥曲线的综合问题-【小尚同学】2024版高考数学真题分类全刷

专题四 　 圆锥曲线的综合问题 P49 1. [2022·全国卷乙,20T,12 分,★★★★☆] 已知椭圆 E 的中心为坐标原点,对称轴为 x 轴、y 轴,且过 A(0, - 2),B 3 2 , - 1( ) 两点. (1) 求 E 的方程. (2) 设过点 P(1, - 2) 的直线交 E于M,N两点,过M且平行于 x轴的直线与线段 AB交于点 T,点 H 满足MT→ =TH→. 证明:直线 HN 过定点. 2. [2021·上海卷,20T,16 分,★★★★☆] 已知椭圆Γ:x 2 2 + y2 = 1,F1,F2 是其左右焦点,直线 l过点 P(m,0)(m < - 2 ) 交椭圆Γ于 A,B两 点,且 A,B 在 x 轴上方,点 A 在线段 BP 上. (1) 若 B 是上顶点, | BF1 → | =| PF1 → | ,求 m 的值. (2) 若F1A →·F2A → = 1 3 ,且原点 O 到直线 l 的距离为4 15 15 ,求直线 l 的方程. (3) 对于任意点 P,是否存在唯一直线 l,使得F1A →∥F2B → 成立? 若存在,求出直线 l的斜率;若不存 在,请说明理由. 22 3. [2020·北京卷,20T,15 分,★★★★☆] 已知椭圆 C:x 2 a2 + y 2 b2 = 1 过点 A( - 2, - 1),且 a = 2b. (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过点 B( - 4,0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M,N,直线 MA,NA 分别交直线 x =- 4 于点 P,Q,求 | PB | | BQ | 的值. 4. [2020·山东卷,22T,12 分,★★★★☆] 已知椭圆 C:x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 2 2 ,且过点 A(2,1) . (1) 求 C 的方程; (2) 点 M,N 在 C 上,且 AM ⊥ AN,AD ⊥ MN,D 为垂足,证明:存在定点 Q,使得| DQ | 为定值. 32 5. [2020·浙江卷,21T,15 分,★★★★☆] 如图,已知椭圆 C1: x2 2 + y2 = 1,抛物线 C2:y2 = 2px(p > 0),点 A是椭圆 C1 与抛物线 C2 的交点,过 点 A 的直线 l 交椭圆 C1 于点 B,交抛物线 C2 于点 M(B,M 不同于 A) . (1) 若 p = 1 16 ,求抛物线 C2 的焦点坐标; (2) 若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点,求 p 的最大值. 6. [2020·天津卷,18T,15 分,★★★☆☆] 已知椭圆 x2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0) 的一个顶点为 A(0, - 3),右焦点为 F,且| OA | =| OF | ,其中 O 为原点. (1) 求椭圆的方程; (2) 已知点 C满足 3OC→ =OF→,点 B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线 AB与以 C为圆心的圆相切 于点 P,且 P 为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程. 42 7. [2020·全国卷 Ⅰ,20T,12 分,★★★★☆] 已知 A,B 分别为椭圆 E:x 2 a2 + y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点,G为 E的上顶点,AG→·GB→ = 8. P为直线 x = 6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D. (1) 求 E 的方程; (2) 证明:直线 CD 过定点. 8. [2020·全国卷 Ⅲ,20T,12 分,★★★★☆] 已知椭圆 C:x 2 25 + y 2 m2 = 1(0 < m < 5) 的离心率为 15 4 ,A,B 分别为 C 的左、右顶点. (1) 求 C 的方程; (2) 若点 P 在 C 上,点 Q 在直线 x = 6 上,且 | BP | =| BQ | ,BP ⊥ BQ,求 △APQ 的面积. 52 9. [2019·全国卷 Ⅱ,21T,12 分,★★★★☆] 已知点 A( - 2,0),B(2,0),动点M(x,y) 满足直线 AM与BM的斜率之积为- 1 2 . 记M的轨迹为曲 线 C. (1) 求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线. (2) 过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点,点 P 在第一象限,PE ⊥ x 轴,垂足为 E,连接 QE 并延长 交 C 于点 G. (ⅰ) 证明 △PQG 是直角三角形; (ⅱ) 求 △PQG 面积的最大值. 10. [2018·浙江卷,21T,15 分,★★★★☆] 如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴) 一点,抛物线 C:y2 = 4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA, PB