创新题型 专题三 结构不良题-【小尚同学】2024版高考数学真题分类全刷

专题三 　 结构不良题 P37 1. [2023·北京卷,17T,13 分,★★★☆☆] 设函数 f(x) = sin ωxcos φ + cos ωxsin φ(ω > 0, | φ | < π 2 ) . (1) 若 f(0) =- 3 2 ,求 φ 的值. (2) 已知 f(x) 在区间[ - π 3 ,2π 3 ] 上单调递增,f(2π 3 ) = 1,再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条 件中选择一个作为已知,使函数 f(x) 存在,求 ω,φ 的值. 条件 ①:f( π 3 ) = 2 ; 条件 ②:f( - π 3 ) =- 1; 条件 ③:f(x) 在区间[ - π 2 , - π 3 ] 上单调递减. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2) 问得 0 分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第 一个解答计分. 21 2. [2021·北京卷,16T,13 分,★★★☆☆] 已知在 △ABC 中,c = 2bcos B,C = 2π 3 . (1) 求 B 的大小; (2) 在三个条件中选择一个作为已知,使 △ABC 存在且唯一确定,并求 BC 边上的中线的长度. ①c = 2 b;②△ABC 的周长为 4 + 2 3 ;③△ABC 的面积为3 3 4 . 31 3. [2021·全国卷甲,18T,12 分,★★★☆☆] 已知数列{an} 的各项均为正数,记 Sn 为{an} 的前 n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证 明另外一个成立. ① 数列{an} 是等差数列;② 数列{ Sn } 是等差数列;③a2 = 3a1 . 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 41 4. [2020·北京卷,17T,13 分,★★★☆☆] 在 △ABC 中,a + b = 11,再从条件 ①、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知. 求: (1)a 的值; (2)sin C 和 △ABC 的面积. 条件 ①:c = 7,cos A =- 1 7 ; 条件 ②:cos A = 1 8 ,cos B = 9 16 . 注:如果选择条件 ① 和条件 ② 分别解答,按第一个解答计分. 51 5. [2020·山东卷,17T,10 分,★★★☆☆] 在 ①ac = 3 ,②csin A = 3,③c = 3 b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角 形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题: 是否存在 △ABC, 它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 sin A = 3 sin B,C = π 6 , ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 61 P39 6. [2022·新高考卷 Ⅱ,21T,12 分,★★★★☆] 已知双曲线 C:x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为 F(2,0),渐近线方程为 y = ± 3 x. (1) 求 C 的方程; (2) 过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2) 在C上,且x1 > x2 > 0,y1 > 0. 过 P 且斜率为- 3 的直线与过 Q 且斜率为 3 的直线交于点 M. 从下面 ①②③ 中选取 两个作为条件,证明另外一个成立. ①M 在 AB 上;②PQ ∥ AB;③ | MA | = | MB | . 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 71 7. [2022·北京卷,17T,14 分,★★★★☆] 如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中,侧面 BCC1B1 为正方形,平面 BCC1B1 ⊥ 平面 ABB1A1,AB = BC = 2,M,N 分别为 A1B1,AC 的中点. (1) 求证: MN ∥ 平面 BCC1B1; (2) 再从条件 ①、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知,求直线 AB 与平面 BMN 所成角的 正弦值. 条件 ①:AB ⊥ MN; 条件 ②:BM = MN. 注:如果选择条件 ① 和条件 ② 分别解答,按第一个解答计分. 81 8. [2021·新高考卷 Ⅱ,22T,12 分,★★★★☆] 已知函数 f(x) = (x - 1)ex - ax2 + b. (1) 讨论 f(x) 的单调性. (2) 从下面两个条件中选一个,证明:f(x) 有且仅有一个零点. ① 1 2 < a ≤ e 2 2 ,b > 2a; ②0 < a < 1 2 ,b ≤ 2a. 91 专题三 　 结构不良题 1. 三角恒等变换 + 三角函数的单调性及最值 (1) 由题意得 f(0) = sin(ω·0)cos