必掌握题型 专题五 坐标系与参数方程、不等式选讲-【小尚同学】2024版高考数学真题分类全刷

专题五 　 坐标系与参数方程、不等式选讲 P90 1. [2023·全国卷甲,22T,10 分,★★★☆☆] 已知点P(2,1),直线 l: x = 2 + tcos α, y = 1 + tsin α { ( t为参数),α 为 l的倾斜角,l与 x轴正半轴、y轴正半轴分 别交于点 A,B,且 | PA |·| PB | = 4. (1) 求 α; (2) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 l 的极坐标方程. 2. [2023·全国卷甲,23T,10 分,★★★☆☆] 设 a > 0,函数 f(x) = 2 | x - a | - a. (1) 求不等式 f(x) < x 的解集; (2) 若曲线 y = f(x) 与 x 轴所围成的图形的面积为 2,求 a. 45 3. [2023·全国卷乙,22T,10 分,★★☆☆☆] 在直角坐标系 xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1 的极坐标方 程为 ρ = 2sin θ π 4 ≤ θ ≤ π 2( ) ,曲线 C2: x = 2cos α, y = 2sin α{ α 为参数, π 2 < α < π( ) . (1) 写出 C1 的直角坐标方程; (2) 若直线 y = x + m 既与 C1 没有公共点,也与 C2 没有公共点,求 m 的取值范围. 4. [2023·全国卷乙,23T,10 分,★★☆☆☆] 已知 f(x) = 2 | x | +| x - 2 | . (1) 求不等式 f(x) ≤ 6 - x 的解集; (2) 在直角坐标系 xOy 中,求不等式组 f(x) ≤ y, x + y - 6 ≤ 0{ 所确定的平面区域的面积. 55 5. [2022·全国卷甲,22T,10 分,★★☆☆☆] 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 x = 2 + t 6 , y = t ì î í ï ï ï ï ( t 为参数), 曲线 C2 的参数方程为 x =- 2 + s 6 , y =- s ì î í ï ï ï ï ( s 为参数) . (1) 写出 C1 的普通方程; (2) 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3 的极坐标方程为2cos θ -sin θ = 0,求 C3 与 C1 交点的直角坐标,及 C3 与 C2 交点的直角坐标. 6. [2022·全国卷乙,22T,10 分,★★★☆☆] 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x = 3 cos 2t, y = 2sin t{ ( t 为参数) . 以坐标原点为极点,x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ + π 3 ) + m = 0. (1) 写出 l 的直角坐标方程; (2) 若 l 与 C 有公共点,求 m 的取值范围. 7. [2022·全国卷甲,23T,10 分,★★★☆☆] 已知 a,b,c 均为正数,且 a2 + b2 + 4c2 = 3,证明: (1)a + b + 2c ≤ 3; (2) 若 b = 2c,则 1 a + 1 c ≥ 3. 65 8. [2022·全国卷乙,23T,10 分,★★★☆☆] 已知 a,b,c 都是正数,且 a 3 2 + b 3 2 + c 3 2 = 1,证明: (1)abc ≤ 1 9 ; (2) a b + c + b a + c + c a + b ≤ 1 2 abc . 9. [2021·全国卷乙,22T,10 分,★★★☆☆] 在直角坐标系 xOy 中,☉C 的圆心为 C(2,1),半径为 1. (1) 写出 ☉C 的一个参数方程; (2) 过点F(4,1) 作☉C的两条切线. 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两 条切线的极坐标方程. 10. [2021·全国卷乙,23T,10 分,★★★☆☆] 已知函数 f(x) =| x - a | +| x + 3 | . (1) 当 a = 1 时,求不等式 f(x) ≥ 6 的解集; (2) 若 f(x) > - a,求 a 的取值范围. 75 11. [2021·全国卷甲,22T,10 分,★★★☆☆] 在直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程 为ρ = 2 2 cos θ. (1) 将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点 A 的直角坐标为(1,0),M 为 C 上的动点,点 P 满足AP→ = 2AM→,写出 P 的轨迹 C1 的参 数方程,并判断 C 与 C1 是否有公共点. 12. [2021·全国卷甲,23T