必掌握题型 专题四 概率、随机变量及其分布-【小尚同学】2024版高考数学真题分类全刷

专题四 　 概率、随机变量及其分布 P82 1. [2023·北京卷,18T,13 分,★★☆☆☆ ] 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据,如下表所 示. 在描述价格变化时,用“ +” 表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“ -” 表示“下跌”,即 当天价格比前一天价格低;用“0” 表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同. 时段 价格变化 第 1 天到第 20 天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第 21 天到第 40 天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率. (1) 试估计该农产品价格“上涨” 的概率. (2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的. 在未来的日子里任取 4 天,试估计该农产品价 格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变” 的概率. (3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响. 判断第 41 天该农产品价格“上 涨”“下跌” 和“不变” 的概率估计值哪个最大. (结论不要求证明) 2. [2022·新高考卷 Ⅱ,19T,12 分,★★☆☆☆] 在某地区进行流行病学调查,随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频 率分布直方图: (1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (2) 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70) 的概率; 83 (3) 已知该地区这种疾病的患病率为0. 1%,该地区年龄位于区间[40,50) 的人口占该地区总人 口数的 16%. 从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率 (以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率, 精确 到0. 000 1) . 3. [2022·全国卷甲,19T,12 分,★★☆☆☆] 甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得 10 分,负方得 0 分,没有平局. 三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0. 5,0. 4, 0. 8, 各项目的比赛结果相互独立. (1) 求甲学校获得冠军的概率; (2) 用 X 表示乙学校的总得分,求 X 的分布列与期望. 93 4. [2021·北京卷,18T,14 分,★★☆☆☆] 为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k 合 1 检测法”,即将 k 个人的拭子样本合并检测,若 为阴性,则可确定所有样本都是阴性的,若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测. 现有 100 人,已知其中 2 人感染病毒. (1) 采用“10 合 1 检测法” . ① 若两名感染者在同一组,求总检测次数; ② 若两名感染者在同一组的概率为 1 11 ,定义随机变量 X 为总检测次数,求总检测次数 X 的分布列 和数学期望 E(X) . (2) 若采用“5 合 1 检测法”,检测次数 Y的期望为 E(Y),试比较 E(X) 和 E(Y) 的大小(直接写出 结果) . 5. [2020·北京卷,18T,14 分,★★☆☆☆] 某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二. 为了解该校学生 对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表: 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人 250 人 150 人 250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. (1) 分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率; (2) 从该校全体男生中随机抽取 2 人,全体女生中随机抽取 1 人,估计这 3 人中恰有 2 人支持方案 一的概率; (3) 将该校学生支持方案二的概率估计值记为 p0,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一 年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1,试比较 p0 与 p1 的大小. (结论不要求证明) 04 6. [2019·天津卷(文),15T,13 分,★★☆☆☆] 2019 年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款 利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除. 某单位老、中、青员工分别有 72,108,120 人, 现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况. (1) 应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2) 抽取的 25 人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人,分