专题10 平面向量-【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题十 平面向量 必记考点梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 3．向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 4．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 5．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 6．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b. 7．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角的余弦 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 常见题型 一 、向量的基本概念及线性运算 1．下列命题中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量 C．若，则 D．任意向量的模都是正数 2．已知单位向量，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 二 、向量共线定理及坐标表示 4．已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 5．已知，，，若，则锐角等于（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 6．已知是平面上的两个不共线向量，向量，，若，则实数　（ ） A．6 B． C．3 D． 三 、向量的数量积 7．设，，，则（    ） A． B． C．5 D． 8．已知向量，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D． 10．已知向量，，若与的夹角为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 实战突破 一、选择题 1．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2．已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．若向量，，则（    ） A． B．25 C． D．19 5．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．15° 6．已知平面向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 8．已知，，且，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．设，向量，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 10．已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（　  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知向量，若，则 ． 12．已知向量、满足，，则 . 13．已知向量，且，则向量与的夹角为 .